用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形

吴晓，刘奇元，罗佑新



用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形

吴晓，刘奇元，罗佑新

(湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德，415000)

为得到不同模量梁弯曲正应力及挠度的实用计算公式，采用材料力学方法分析复杂外载荷下的不同模量梁的弯曲变形，将材料力学方法得到的计算结果与弹性理论方法得到的计算结果进行比较。研究结果表明：用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形不但计算精度较高，而且计算过程也简便，克服了弹性理论存在一题一解及计算过程复杂繁琐的缺陷；不同模量梁的剪切形状因子与不同模量材料的拉压弹性模量有关，而各向同性材料梁的剪切形状因子与材料的弹性模量无关。

材料力学；模量；梁；弯曲变形；剪切；形状因子

不同模量材料已经在工程中得到广泛应用[1−7]。人们对不同模量材料对工程结构的影响也进行了相关研究，如：何晓婷等[8]得到了均布载荷下不同模量简支梁的弹性解；王蔚佳等[9]在此基础上进行了数值分析；吴晓等[10−12]则得到了线性分布荷载下不同模量悬臂梁的Kantorovich解、不同模量矩形截面杆和泡沫铝芯夹层梁弯曲时解析解并进行了不同模量泡沫铝芯夹层梁的弯曲计算分析；吴晓等[13]在考虑剪切效应的基础上得到了不同模量梁的自由振动解析解[13]。若采用文献[8−11]中的弹性力学方法，需要依靠三角级数进行求解，存在计算繁琐、一题一解的缺陷，并且不能求解复杂外载荷作用下不同模量梁弯曲变形问题。文献[12−13]采用各向同性材料梁的剪切形状因子考虑剪切变形效应，但实际上不同模量梁的剪切形状因子不再是常量，而与拉、压弹性模量比值有关。基于以上原因，本文作者用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形，得到其计算通式。

1 不同模量梁的应力计算公式

图1所示为分布载荷作用下的等截面不同模量梁上的任意微段梁，有

式中：为不同模量梁弯曲时的曲率半径。

利用式(1)和(3)可得

同理，可以得到不同模量梁压缩区的线应变为

假设作用在图2所示不同模量梁上的外载荷以向下为负，弯矩以使梁弯曲变形凸向下时为正。据文献[13−15]可知不同模量梁纯弯曲变形时拉伸区、压缩区的弯曲应力分别为

式中：为不同模量梁的抗弯刚度；t为拉伸弹性模量；()为梁截面弯矩。

图2中，1和2分别为受拉区、压缩区高度。

图3(a)和图3(b)所示分别为图2所示简支梁的受拉区、受压区分离体。由图3(a)可得1t和2t以及剪力方程为：

图2 不同模量简支梁

(a) 拉伸分离体；(b) 压缩分离体

将式(7)中的拉应力公式代入式(8)可得

同理，由图3(b)可得压缩区弯曲剪应力c：

利用式(13)和(14)可得

利用式(12)~(15)可知不同模量梁任意截面拉伸区、压缩区的弯曲正应力分别为

2 不同模量梁的挠度计算公式

为了使挠度计算公式具有普遍意义，以在复杂载荷作用下图2所示不同模量梁为例，研究不同模量梁的弯曲挠度。

由式(15)可知不同模量梁的弯曲挠曲线微分方程为

式中：为曲率半径。

图2所示不同模量梁在复杂载荷作用下的载荷集度可表示为

对式(19)进行1次积分可得剪力表达式为

对式(20)进行1次积分可得弯矩表达式为

将式(19)和式(21)代入式(18)进行1次积分可得转角方程为

对式(22)进行1次积分可得挠曲线表达式为

式中：0和1为待定积分常数，可根据不同模量梁的边界条件来确定。

式(23)即为复杂荷载作用下的不同模量梁弯曲挠曲线表达通式。

3 计算分析及讨论

算例1：均布荷载作用下简支梁如图4所示，该简支梁由各向同性材料组成，均布荷载。

令t=c，可得

式中：为泊松比。在式(25)中，令=0，可得

式(26)与弹性理论精确解相同[16]。

由式(23)可得

图4所示简支梁的边界条件为

0，(0)=0；=，()=0 (28)

由式(27)和(28)可求得梁中点挠度为

式中：54/(384)为材料力学方法最大挠度解。

当=0.25时，由式(29)可得

当=0.25时，由弹性理论可得梁的中点挠度为

由式(25)可知当=0.25时，图4所示简支梁截面最大弯曲正应力为

由式(26)可知图4所示简支梁截面最大弯曲正应力为

式中：max/为材料力学方法最大应力解；=2/6；max=2/8。

由式(30)~(33)所得计算结果见表1和表2。

表1 梁中点挠度w(l/2)

表2 最大弯曲正应力

从表1和表2可以看出：采用材料力学方法计算结果与弹性理论解相差很小，计算精度高；即使当长高比/=2时，本文方法的挠度解和最大弯曲正应力解与弹性理论解的相对误差分别为3.23%和1.50%，小于工程允许误差5%；当/=6时，本文方法所得解和材料力学解与弹性理论解的误差分别为0.57%和5.75%，因而，在计算/≤6的弯曲挠度时不宜采用材料力学方法，而应采用本文方法进行计算。

复杂外荷载下梁弯曲时的应力和位移弹性理论存在一题一解的缺陷，往往需要依靠三角级数，其计算量非常大。吴家龙[16]给出的式(26)和式(31)仅是均布载荷作用下梁应力、挠度解，采用本文方法则能给出复杂外荷载作用下梁的应力和挠度的计算通式，具有通用性和计算简便的优点。

算例2：矩形截面悬臂梁由各向同性材料组成，均布荷载。其参数为：=3.0 m，0.5 m，=1.0 m，=10 kN/m，=210 GPa，80 GPa。其跨中弯曲应力弹性理论解为[16]

表3所示为悬臂梁跨中截面应力的本文方法、弹性理论方法和材料力学方法计算结果。

表3 悬臂梁跨中截面应力

从表1~3可知：当/≥3时，梁弯曲应力宜采用材料力学方法；当/＜3时，宜采用本文方法。因为本文方法计算精度较高，给出的是复杂外荷载下梁截面应力通解，而文献[16]中方法仅限于求解均布荷载。

算例3：不同模量矩形截面梁材料参数及截面尺寸分别为：1=113 GPa，2=145 GPa，1=0.22，2= 0.292 6，=16 mm，=56 mm，132 kN/m。

从表4~6可以看出：采用本文方法与采用弹性力学方法所得结果相差较小。对比表4和表5可以看出：将不同模量梁视为相同模量梁进行计算时，所得结果误差较大。

表4 E1=113 GPa，E2=145 GPa时不同模量简支梁中点处挠度

表5 E1=113 GPa，E2=145 GPa，μ1=0.22和μ2=0.292 6时各向同性简支梁中点处挠度

表6 E1=113 GPa，μ1=0.22和l/h=10时不同模量简支梁中点处挠度

4 结论

1) 本文所提出的方法克服了弹性理论存在一题一解的缺陷，得到了复杂外载荷作用下梁的弯曲正应力、剪应力和挠曲线通式，其计算简便，计算结果具有很高的精度。

2) 进行弯曲变形计算时，将不同模量梁视为相同模量梁计算误差较大，因而不同模量梁不能视为各向同性材料梁计算。

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Research of bending deformation of beam with different modulus by material mechanics method

WU Xiao, LIU Qiyuan, LUO Youxin

(College of Mechanical Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

In order to get the practical calculation formulas of bending normal stress and deflection of the beam with different modulus, the material mechanics method was used to research the bending deformations of the beam with different modulus under external load. The calculation results obtained by the material mechanics method were compared with those obtained by the elastic theory. The results show that the accuracy is high and the procedure is simple for calculating the bending deformations of the beam with different modulus. This method overcomes the defects of elastic theory that one problem is with one solution and that the calculation process is complicated and cumbersome. The shear shape factor of the beam with different modulus is related to the elastic modulus of tension and compression of the different modulus material, and the shear shape factor of the beam with isotropic material is independent of the elastic modulus.

material mechanics; modulus; beam; bending deflection; shear; shape factor

10.11817/j.issn.1672−7207.2018.12.010

O341

A

1672−7207(2018)12−2972−07

2017−12−22；

2018−02−10

湖南省科技计划项目(2011SK3145)；湖南“十二五”重点建设学科项目(湘教发［2011］76号)；湖南省自然科学基金资助项目(2015JJ6073)(Project(2011SK3145) supported by the Hunan Science and Technology Plan; Project((Hunan Education[ 2011]76)) supported by Hunan “Twelfth Five-Year Plan” Key Construction Subject; Project(2015JJ6073) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province)

吴晓，教授，从事工程力学研究；E-mail：wx2005220@163.com

(编辑 陈灿华)