高中数学核心素养第一站——集合

北京市延庆区教育科学研究中心 牛旭明

集合作为高中数学必修内容中的预备知识安排在起始课阶段，是函数概念的基础。集合作为一个不定义的抽象的数学概念，其实际背景是学生在以往的学习和生活实践中已经具有的思考一类研究对象的观念和经验，高中进一步的学习只是将这一既有的观念形式化、规范化，并用数学符号语言予以表征，特别是在初中数学学习的过程中，学生对数与形的概念及相应的集合已经有了一定的认识，已经初步具备了一般性思考数学问题的能力，在此基础上给出集合概念及其符号表示不仅易于为学生所接受，而且经过一定量的训练可以使学生在理解的基础上熟练地使用集合语言进行表达和交流。需要特别指出的是，高中数学课程仅把集合作为一种数学语言来学习，应当被看做是最基本的要求，用集合语言能更简洁、更准确地表达相关的数学内容，集合作为最基础最通用的数学语言将贯穿于学生数学学习的全过程。

作为高中阶段数学核心素养培育的第一站，在集合教学中应当更加关注的是在集合知识的教学中数学核心素养的培育. 首先，在集合的表示法中，列举法和描述法作为数学表达的两种基本形式，既相互对立，又相辅相成，用列举法表示集合可以得到对集合中元素个性特点的直接的、清晰的认识，在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征性质；用描述法表示集合可更加突显集合中元素的公共属性，也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识，提升学生的数学抽象素养. 当然，集合知识所承载的数学核心素养绝不仅限于数学抽象，元素与集合间的属于关系的实质是个体与整体间的关系，其本质是基于概念基础上的判断，是推理的初级阶段；而两个集合间的包含关系的判断与证明则是基于概念基础上的两类事物间逻辑关系的判断与推理，是逻辑思维的基本内容；在集合概念及包含关系基础上进一步建立的集合的交、并、补运算作为数学运算的新内容、新形式，不仅体现数学运算素养，也蕴含着逻辑推理的基本成分，既是学生既往逻辑思维的抽象表达，也是学生进一步学习逻辑思维的基础和前提；维恩图是对集合概念的最形象的表示，可以直观地描述集合问题，建立集合问题的几何模型，借助于维恩图可以直观清晰地把握事物间逻辑关系，探索解决问题的思路，体现直观想象的核心素养。

应用集合知识解决数学问题，首先要准确理解集合语言的含义，通过数学抽象认识一般的规律和结构，通过逻辑推理推断或推证事物间的逻辑联系，通过分类或分步把复杂问题转化为简单问题，通过数学运算或图形直观求得问题的解，数学问题的解决不仅能够起到巩固知识的效果，而且能够提高学生分析和解决问题的能力，使学生勤于思考、勇于探究、善于反思，做到逻辑严谨、表达清晰、思考有条理，促进思维能力和品质的提升，现举例如下：

例1. 证明集合运算的性质：若则反之也成立。

证明：对于集合A中的任意的一个元素x，

∵

∴

反之，

∴A与B的公共元素组成的集合等于集合A,

∴

说明：此性质的证明不应停留在学生的感觉层面，仅凭维恩图给出直观说明是不够的，利用图形可直观感知事物的规律和结构，是逻辑思维的前提，但维恩图不能代替从概念出发的严格的逻辑推理过程及相应的思维训练，应当引导学生回到子集和交集概念的层面来分析思考，探寻解决问题的思路，发展逻辑推理素养，培育理性精神。

例2. 已知集合求x.

证明：∵

① 若此时题设成立，

② 若则x=0，或x=1，

当x=0时，题设成立，

而当x=1时，与集合中元素的互异性相矛盾，

综上可知：或x=0.

说明：教师不应只关注结论是否正确，更应关注解题思路，特别是在用集合语言表达解题过程时要做到逻辑清晰、准确简洁。

例3.设是矩形}，是菱形}，求

解：设则

∵∴x是菱形，即x是四条边相等的平行四边形，

∴x是四个内角都等于直角且四边都相等的平行四边形，

∴x是正方形，

∴是正方形}.

说明：此题是在既往概念学习的基础上，从集合中元素的特征性质出发，经过逻辑推理得出两个集合交集的运算结果，并用符号语言予以表达，体现严格的逻辑推理过程，还需指出的是，逻辑表达中的“且、或、非”在日常交流中早已为学生所熟悉，应大胆使用，无需回避。

例4.已知集合

（1）若求a的取值范围；（2）若求a的取值范围。

分析：集合B中的字母a相对于代表元素x来说是一个未给定数值的常数，它的值有多种可能性，当a的值确定时，集合B中的元素也随之确定；特别地，当a=0时，此时，成立，而不成立，可推广到时的所有情况；当a=3时，此时，成立，而不成立，可推广到时的所有情况；当时，此时均不成立，可推广到时的所有情况。

解：当时，成立，不成立；当时，成立，不成立；当时，均不成立。

∴（1）若a的取值范围是（2）若a的取值范围是

说明：此题的难点在于对集合中参数a的性质a及x与的关系的认识，要使学生认识到a相对于代表元素x来说是一个未给定数值的常数，它的值有多种可能性，而a的值一经确定后，集合B中的元素随之确定. 为克服抽象性带来的学习困难，应当借助于特例来理解数学问题的条件和结论，引导学生从选取a的特殊值出发，代入后利用数轴直观判断题设条件是否成立，进而推广到一般情形，发展数学抽象和直观想象的核心素养。

集合是现代数学的基本语言，可以简捷准确地表达数学内容，通过集合知识的学习，使学生掌握必要的基本知识，理解集合语言的意义，会用集合语言表示有关的数学对象，为今后进一步的学习打下良好的基础。同时，在集合知识的教学中，要注重学生思维能力和思维品质的培育，树立以发展学生数学核心素养为导向的意识，要结合特定的教学任务，思考相应素养在教学中的孕育点、生长点，研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体，将数学核心素养的培育贯穿于教学活动的全过程。