方程（组）中考热点追踪

柏黎平

在初中数学的学习中，方程（组）占有重要的地位，它们是解决数学实际问题的基本模型.因此中考会重点考查，其所占分值较大，除单一知识点考查外，也会与其他知识相结合考查.下面将近两年各地中考题中有关方程（组）的问题追踪归类，同学们可以参考使用.

考点一：方程根（解）的意义

例1 （2017·菏泽）关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根为0，则k的值是 .

【解析】把x=0代入原方程，得关于字母k的一元二次方程k2-k=0，解得k=1或k=0，考虑到二次项系数不为0，因此k=0.

例2 （2017·南京）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，则p= ，q= .

【解析】分别将-3和-1代入方程，得到关于p和q的两个二元一次方程，组成方程组即可求得p=4，q=3.当然本题也可以利用一元二次方程根与系数的关系求解.

【复习指导】所谓方程的根，即使方程两边相等的未知数的值.凡此问题均可直接将已知的未知数的值代入方程，得到关于所求字母的方程，求解即可.此类问题考查时都是基础问题，属必得分项目，只要不马虎，一般都不难解决.

考点二：直接解方程（组）

例3 （2016·台湾）若二元一次联立方程式[2x+y=14， ①-3x+2y=21 ②]的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（ ）.

A.[192] B.[212] C.7 D.13

【解析】本题可以有两种方法解决，第一种方法：可以先用加减消元法解出方程组的解为[x=1，y=12，]再代入求得a+b=13；也可由①得y=14-2x，再代入②消元为关于x的一元一次方程求解.

【复习指导】直接解方程（组）主要包括一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程和分式方程.中考大多放在解答题的前几题，考查他们的解法.解方程（组）是利用方程解决问题的基本技能，同学们务必要掌握这几种主要方程（组）的解题思路和解题方法.转化思想在解方程时最为重要，将复杂的不会解的方程通过数学方法转化为简单会解的方程：多元方程组可通过加减和代入两种方法转化为一元方程；分式方程通过去分母向整式方程转化；二次方程可以通过因式分解向一次方程转化；无理方程可以通过两边平方向有理方程转化.另外在解分式方程时因为容易产生增根，要特别注意，检验是必要步骤.

考点三：一元二次方程相关知识

例4 （2017·苏州）关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

【解析】一元二次方程根的情况由根的判别式来判断.根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，即（-2）2-4k=0，解得k=1，故答案选A.

例5 （2017·盐城）若方程x2-4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 .

【解析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展开得到x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可得答案5.

【复习指导】一元二次方程的根的判别式和根与系数关系（韦达定理）也是近两年的高频考点，不过大多情况出现在填空题和选择题中，只考查其简单应用，同学们只要掌握其基本结论即可.

考点四：方程（组）在实际问题中的应用

例6 （2017·扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度.

【解析】本题中的等量关系是：小芳用时-小明用时=6.因此设小芳的速度是x米/分钟，分别用含x的代数式表示小明用时和小芳用时，即可列出方程：[1800x]=[18001.2x]+6，解得x=50，经检验x=50是原方程的解，答略.

例7 （2017·泸州）某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元.

（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择.

【解析】第（1）小题有两种不同计算方法造成的两个等量关系，需求两个未知量.设甲、乙两种书柜每个的价格分别是x元和y元，可列方程组[3x+2y=1020，4x+3y=1440，]解得[x=180，y=240，]答略.第（2）小题涉及两个不等关系式，所以用不等式（组）解决.设甲種书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个，由题意得：[20-m≥m，180m+24020-m≤4320，]解得：8≤m≤10.因为m取整数，所以m可以取的值为：8、9、10，故有三种可选方案，答略.

【复习指导】用方程（组）解决实际问题考查的是同学们的数学应用能力.此类问题近几年在江苏中考中出现的频率很高，比较多见的是行程类问题和经济利润类问题，主要以考查列二元一次方程组和用分式方程解决问题为多.解决问题的关键在于两个方面：读懂题意并找出题中的等量关系，设合适的未知数并用未知数表示出等量关系中的相关数量.其中更为重要的是用含未知数的代数式表示题中的相关数量，因为等量关系就是一个等式，一旦用含x的代数式表示出等式中的数量，那么方程（组）就能较为轻松地列出了.

考点五：方程（组）与其他知识的综合运用endprint

例8 （2017·连云港）设函数y=[3x]与y=-2x

-3的图像的交点坐标为（a，b），则[1a]+[2b]的值是 .

【解析】函数图像问题与方程（组）有着密切联系，本题前半个题目翻译成方程语言则是：已知方程组[y=3x，y=-2x-3]的解为[x=a，y=b.]于是可以将a、b代入方程得[b=3a，b=-2a-6，]整理得[ab=3，2a+b=-6，]将所求代数式通分得[1a]+[2b]=[2a+bab]，整体代入得-2.

例9 （2017·青岛）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直線上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°.如图2，△EFP从图1的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G.同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s.过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动.设运动时间为t（s）（0

（1）当t为何值时，PQ∥BD？

（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【解析】本题是一个较为复杂的动点问题，考查的知识点众多，但方法较为明确：图中所有的线段除已知的，其他线段的长都可以用含t的代数式表示出来，然后根据题意列出相应的方程或函数即可求解.第（1）题先用含t的代数式表示PC、CQ的长，再利用△CPQ∽△CBD对应边成比例构造方程即可得解t=[247]；第（2）题同样先用含t的代数式表示△ABF、矩形ABCD、△CPQ和△DMQ的面积，再利用面积的和差关系即可求得y=[18]t2-[52]t+[1172]；第（3）题利用（2）中表达式和S五边形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8列出一元二次方程[18]t2-[52]t+[1172]=54，解得t1=2，t2=18（舍去）；第（4）题作MN⊥BC，构造矩形MNCD，根据AG2+AM2=PN2+MN2，用含t的代数式表示涉及线段，即可构造关于t的方程[6-34t2]+[34t+722]=[72-t42]+62，求解得t1=0（舍去），t2=[3217].

【复习指导】从上面的两个问题我们可看出，综合性问题有起点不高、要求较全面的特点，许多综合题常常以不同的问题背景，需用含字母的代数式表示题中的相关数量，然后利用题中的等量关系，最终划归为构造方程求解.主要构造方程模型的情况有：代数型问题以函数、实际应用题等形式构造方程（组）；几何型问题主要以基本图形为背景结合勾股定理、相似三角形对应边成比例、三角函数等知识构造方程.而许多问题一旦从方程的角度思考，建立方程模型去解决问题，往往就容易理解了.当然在解决综合性问题的过程中还不能忘记初中数学中最重要的数学思想方法，如：数形结合、分类讨论和几何运动变化等数学思想.

（作者单位：江苏省太仓市双凤中学）