方程与不等式的“双剑合璧”

初中阶段，我们学习的数学分为代数、几何和概率统计这三大部分.其中代数又分为数、式、方程、不等式和函数这五个部分.那么，这五个部分之间又是什么关系呢？是不是彼此独立，互不相干呢？下面我们就来谈谈方程和不等式之间的关系.

我们先从它们的定义入手：方程是含有未知数的等式，而等式是用等号连接的式子；那自然，不等式就是用不等号连接的式子.

根据定义，我们觉得方程和不等式简直是水火不相容：你是等式，我是不等式，我是对你的否定.这是典型的“对着干”啊！

我们看一个例题，或许能改变一些看法.

例1 解方程和不等式：

（1）[x+93]=[x+22]+1；

（2）[x+93]>[x+22]+1.

分别解两个式子，然后观察解答过程和所得结果，你一定会恍然大悟：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这些步骤完全一致.最后结果的数值是6，也完全一样！不同的是，系数化为1时不等式需要考虑不等号的方向，而解方程不用；最后结果x=6和x<6也只是连接的符号不同罢了.

看来，方程和不等式是有关系的！

仔细观察“=”和“<”，我们能够直观地发现，原来不等号就是等号的向一边倾斜的变形；我们再从数轴这个角度来看x=6和x<6的关系：

原来方程只是不等式的“边界”啊！换言之，不等式是“方程+方向”的组合体.

当方程与不等式“双剑合璧”时，它们产生的威力就不可小觑.

一、解一元二次不等式

相信我们都能熟练解决一元一次不等式，但是一元二次不等式能不能玩得转呢？

例2 解不等式：x2≥9.

【分析】解不等式的时候，可以将不等式看成是方程，解得方程的解，也就是得到了不等式的“边界”，然后再根据题意，选取不同的区间就可以了.

本题解方程x2=9可得x1=3，x2=-3，再将数轴上以-3和3表示的点为“边界”，可得x≤-3、

-3

二、求取值范围问题

近几年中考，我们经常遇到求参数取值范围的问题.解答这些题型时，如果能够将不等式问题转化为方程问题，往往会有出奇制胜的效果.

例3 如图1，抛物线y=ax2与四条直线x=1、x=2、y=1、y=2圍成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 .

【分析】本题的题型是求参数的取值范围，即答案是关于a的不等式.考虑到不等式的“边界”是方程，因此只需要考查两个极端情形：抛物线的开口变大时，有公共点和没有公共点的“边界”是点B（2，1）；当抛物线的开口变小时，有公共点和没有公共点的“边界”是点D（1，2）.分别代入抛物线的解析式可得a1=[14]，a2=2，考虑到题目只关注有公共点，因此本题的答案是[14]≤a≤2.

例4 直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第二象限，则a的取值范围是 .

【分析】结合函数图像可以发现，直线y=x+1为定直线，而y=-2x+a为平行直线束，设直线y=x+1分别交两坐标轴于点A（-1，0）、B（0，1），则交点在第二象限的“边界”为直线y=-2x+a经过点A、B，将两个坐标分别代入得：a1=-2，a2=1，最后根据函数的图像判断不等号的方向，最终得到答案为-2

本题若运用常规解法则较为烦琐：先解含参方程组，用a的代数式表示交点，然后再根据点在第二象限列出不等式组，最后解不等式组.因此，巧用方程和不等式的关系可以简化解题过程.

例5 如图2，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度每秒的速度沿x轴向左做匀速运动，以点C为圆心、[12t]个单位长度为半径作⊙C，设运动时间为t秒.当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围.

【分析】在⊙C的运动过程中，与射线DE的公共点个数分别是0个、1个、2个、1个、0个，因此，若要求t的取值范围，只要解决圆刚刚接触到射线的“边界”位置和圆即将脱离射线的另一个“边界”（如图3中⊙C1、⊙C2）即可，分别解得t1=[43]，t2=[163]，因此，本题的答案是：[43]≤t≤[163].

三、分类讨论问题

分类讨论问题综合性强，难度较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有较强的选拔性.在分类讨论问题的各个难点中，最关键的是如何分类，确保不遗漏、不重复.

利用方程和不等式的关系，借助数轴可以很好地解决这一难点.

例6 化简：[x+2]+[x-4].

【分析】化简含绝对值的式子，需要去掉绝对值，因此对绝对值内代数式的符号需要进行讨论.但是讨论x+2>0、x+2<0、x-4>0、x-4<0等情况较复杂，可以观察不等式的“边界”，即方程x+2=0、x-4=0的值，得x=-2和x=4，在数轴上以表示-2和4的点为“边界”，“截断”数轴为三段：

即可得分类讨论的三个范围：x≤-2，-24.

我们从方程和不等式的关系入手，发现横向打通知识之后可以带来解题的新思路、新方法.如果按这个思路，将方程、不等式、函数进行横向打通，又会有什么美妙的结论和方法呢？

（作者单位：江苏省太仓市沙溪第一中学）