从“隐身”到“显身”

张晓东

“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一.就其概念及解法来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一.在一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程及一元一次不等式问题的解决中，我们由于对概念的理解不到位、符号感不强、思维空间比较狭窄等原因而忽视了题目中的隐含条件，容易出现一些无谓的错误.在中考的复习中，我们面对“隐含”条件，是否都“敏感”了呢？下面我们一起來看看这方面的几个问题.

例1 判断下列各式中，哪些是一元二次方程？

（1）x2+[1x2]=0；

（2）ax2+bx+c=0；

（3）（x-1）（x+2）=x2；

（4）3（x-3）2=2x-5.

【易错】面对这类问题，同学们往往容易忽略一元二次方程是整式方程，没有意识到二次项系数不能为0这个条件，另外还要注意未知数不能在分母中.

【正确答案】是一元二次方程的是（4）.

例2 已知关于x的方程[2x+mx-2]=3的解是正数，求m的取值范围.

【易错】方程的解是正数，但当x=m+6=2时分母为零，容易忽略分母为零产生增根的隐含条件.解题时考虑问题要全面，不但要考虑分式方程的解是正数，同时还要注意原分式方程的最简公分母不能为0，即产生增根.

【正确答案】去分母得，2x+m=3（x-2），

3x-2x=m+6，x=m+6，

∴m+6>0，解得m>-6.

又∵m+6≠2，解得m≠-4.

所以m的取值范围是m>-6且m≠-4.

例3 已知：（x2+y2）（x2+y2-2）=8，求x2+y2的值.

【易错】如果把x2+y2看作是一个整体，去括号后可以得到（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，这个方程可以看作关于x2+y2的一元二次方程，解之就能得到x2+y2的值.但大家容易漏考虑x2+y2≥0这个隐含条件，从而出现错误.

【正确答案】去括号，

得（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，

解之x2+y2=4或x2+y2=-2，

但因为x2+y2≥0，所以x2+y2=4.

例4 已知反比例函数y=[-2x]，求当y<-2时，x的取值范围.

【易错】大家看到这样的问题都会马上想到列不等式[-2x]<-2，然后解这个不等式求x取值范围.我们要注意到这是一个分式不等式，在两边同乘x去分母的时候，大家漏考虑了所乘x的值是正数还是负数，这也正是在解不等式当中最容易忽略的隐含条件.而且在这里我们还要注意反比例函数中自变量x不能取零.

【正确答案】画出反比例函数y=[-2x]的图像.

计算出当y=-2时，x=1，

在图像上描出点（1，-2），

由图像可知x取值范围为：0

例5 已知关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

【易错】本题的已知条件是一元二次方程有两个不相等的实数根，其方法是利用一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式就可以求出k的取值范围.但要注意方程二次项系数为k，而且它必须是一元二次方程，所以隐含的条件是k≠0，也就是说这题要列出两个不等式来求k的取值范围.

【正确答案】因为关于x的方程是一元二次方程，所以k≠0，

又因为方程有两个不相等实数根，所以Δ>0，即：36-4k>0，

解之得k<9.

所以，k的取值范围是：k<9且k≠0.

小试牛刀

1.方程（m-2）xm2-2+（3-m）x-2=0是一元二次方程，求m的值.

2.当a为何值时，[x-1x-2]-[x-2x+1]=[2x+ax-2x+1]的解是负数？

3.已知关于x的不等式（1-a）x>2的解的范围为x<[21-a]，求a的取值范围.

4.已知关于x的方程kx2-6x+1=0有实数根，求k的取值范围.

（作者单位：江苏省太仓市沙溪实验中学）