概率知识在日常生活中的应用

冯哲 佘纬

(1.武汉市洪山高级中学,湖北武汉 430074;2.中南民族大学,湖北武汉 430074)

1 引言

因为有了数学这个充满了智慧的学科,我们可以更加合理而有序的安排生活,可以科学的预知各种事件发生的几率,并为其发生做好准备[1-4]。在我们的生活中,数学无处不在,数学来源于生活,又用于生活。如果脱离了生活来学习数学,数学就会变得索然无味,如果学习数学之后不将其应用于生活,数学就仅仅变成了游戏[5]。

2 概率的确定方法

本节介绍确定概率古典方法和几何方法[6,7]。

2.1 确定概率的古典方法

确定概率古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形。它简单、直观,不需要做大量重复试验,而是在经验事实的基础上,对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率。古典方法的基本思想如下：

(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点,譬如为 n个。(2)每个样本点发生的可能性相等。(3)若事件 A含有k个样本点,则事件 A的概率为：

古典方法是概率论发展初期确定概率的常用方法,故所得的概率又称为古典概率.在古典方法中,求事件 A的概率归结为计算 A中含有的样本点的个数和 Ω中含有的样本点的总数。所以在计算中经常用到排列组合工具。

2.2 确定概率的几何方法

确定概率的几何方法,其基本思想是：

(1)如果一个随机现象的样本空间 Ω充满某个区域,其度量(长度、面积或体积等)大小可用SΩ表示。(2)任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的,譬如在样本空间 Ω中有一单位正方形 A和直角边长为1与2的直角三角形 B,而点落在区域 A和区域 B是等可能的,因为这两个区域面积相等(如图1)。(3)若事件 A为 Ω中的某个子区域(如图2),且其度量大小可用SA表示,则事件 A的概率为：

这个概率称为几何概率。求几何概率的关键是对样本空间 Ω和所求事件 A用图形描述清楚(一般用平面或空间图形)。然后计算出相关图形的度量(一般为面积或体积)。

3 概率的应用举例

本节通过列举一些日常生活中的具体问题,分别说明古典概率和几何概率在实际中的应用。

3.1 古典概率的应用举例

生日问题—— n个人的生日全不相同的概率是多少？

首先来求解“盒子模型”,设有 n个球,每个球都等可能地被放到N个不同盒子中的任一个,每个盒子所放球数不限。试求恰好有 n个盒子各有一球的概率。

分析问题,可以分为两步做：第一步从N个盒子中任取 n个盒子准备放球,共有种取法;第二步将 n个球放入选中的 n个盒子中,每个盒子各放1个球,共有n!种放法.所以根据乘法原理共有：

种放法。因此所求的概率为：

表面上看,盒子模型讨论的是球和盒子问题,似乎是一种游戏,但实际上我们可以将这个模型应用到很多实际问题中。

下面我们用盒子模型来讨论概率论历史上颇为有名的“生日问题”,把 n个人看成是 n个球,将一年365天看成是N=365个盒子,则“ n个人的生日全不相同”就相当于“恰好有 n个盒子各有一球”,所以 n个人的生日全不相同的概率为：

经过近似计算可得不同的 n值对应的pn值如表1所示。

这个数值结果是令人吃惊的,因为许多人会认为,一年365天,30个人的生日各不相同的可能性是较大的,至少会大于1/2。甚至有人会认为,100个人的生日各不相同的可能性也是较大的。另外,表1的最后一行给出了对立事件“ n个人中至少有两个人生日相同”的概率。当n=60时,1-pn=0.9922表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过99%,这是出乎人们预料的。进一步计算可知,当n＞23时,有1-pn＞0.5。也就是说人数超过23的群体至少有两个人生日相同的概率就已经超过了1/2。

表1 pn的近似值

3.2 几何概率的应用举例

会面问题——甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人20分钟,过时即可离去。求两人能会面的概率。

在平面上建立xOy直角坐标系,以 x和 y分别表示甲、乙两人达到约会地点的时间(以分钟为单位)。因为甲、乙都是在0到60分钟内等可能地到达,所以由等可能性知这是一个几何概率问题。(x, y)的所有可能取值是边长为60的正方形,其面积为SΩ=602。而事件 A=“两人能够会面”相当于

即图3中的阴影部分,其面积为SA=602-402,由式(2)知

结果表明,按此规则约会,两人能够会面的概率不超过0.6。若把约定时间改为在下午6时到6时30分,其他不变,则两人能会面的概率提高到0.8889。

4 结语

概率的定义及其确定方法是概率论的最基本问题之一。本文介绍了两种确定概率的方法,阐述了各种方法的基本思想,通过举例说明了各类方法在实际生活中的应用。通过应用实例发现,概率及概率问题与人们的生活息息相关,涉及到自然社会的各个层面和科学研究的各个领域,因此了解和掌握确定概率的方法及其应用实例是十分有用的。

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