蜂拥集群模型引力/斥力函数的改进

高慧 刘涛

摘要

為了更好地利用蜂拥集群模型研究人工智能，论文提出了一种在原有A/R模型基础上针对模型中引力/斥力函数的改进方式，进而使得模型更加完善，并通过对改进模型的分析验证了改进后模型的稳定性。

【关键词】蜂拥集群 引力/斥力函数

1 A/R模型基础简介

A/R模型作为基础模型，我们先简要概括一下该模型基础。在N维空间（本文只研究二维平面）中存在一个由11个个体组成的群体，建模过程中把个体看成不计大小的质点，空间中个体m的位置用x^m∈Rⁿ表示。假定所有单一个体相互之间传递信息时没有延迟，所有个体都能在第一时间收到其他个体的位置信息。在连续时间模式下得到的第m个个体的运动动力学的运动方程为式中g（"）表示不同个体相互作用的引力和斥力，并取，其中a，b，c均为正常数，b>a>0，欧式范数。两个单一智能体之间始终遵循“远则吸引，近则排斥”最基本的行为规则。

2 改进的引力/斥力函数模型

2.1 引力权重因子

实际上该A/R模型在现实生活中能够把引力项和斥力项合并起来，同时为了加快系统的收敛速度，可以引入一个变量参数，即引力权重因子G。G的主要作用就是为了加快系统的收敛速度，使得整个系统在收敛的过程中效率更高。G的计算公式：其中d（m，n）表示的是个体m与个体n的距离，d（m，n）_Hmn表示所有个体中两两个体之间的最短距离。

2.2 简化后的引力函数

论文中为了方便运动方程稳定性的证明，考虑一种最简单的情况，即系统所处的是一个没有噪声污染的环境，并且把每个个体都看成是没有体积、无质量的能够忽略不计的质点，假设个体m和个体n的引力/斥力函数为其中d（m，n）表示个体m和个体n之间的距离，d表示个体m与所有个体最终预期收敛的位置的距离，d表示所有个体之间的平均距离，G表示引力权重因子。

3 简化后模型的稳定性分析及证明

3.1 运动方程最简化

我们考虑一种最简单的情况，即当运动方程满足如下条件U（x^m）=0.W_mn=1.δ=0时，运动方程就能够简化为简化后得到的运动方程即为最简形式，该方程实际表示的是所有个体都处在一个不断变化的状态，感知范围已经确定且各向同性，并且是在无噪声的不断变化的环境中。所以该情况下的运动方程最便于模型稳定性的分析，分析得到的结论也同样适用于U（X^m）≠0，W_mn≠1，δ≠0的最复杂的情况。

3.2 模型稳定性的证明

3.2.1 集群中心

假定该系统的集群中心为：如果想要得到集群中心x在整个时间域t内的空间位置恒定不变，只要满足集群中心x关于时间的微分等于。即可。

从上式中可以得到x对时间的微分等于0，所以能够得到该系统的集群中心x在整个时间域内的空间位置恒定不变。

3.2.2 误差变量

假定该系统的误差变量为：，选取Lyapunov函数为：

进一步证明，则得到：

根据李雅普诺夫原理，只需证明v_m<0即可。为了方面理论证明，现设d=0，d（x^m-xⁿ）= A，则将上式进一步化简后得到令v_m≤0，即：

通过理论分析证明得到当误差变量e^m≥Q时，该系统最终是趋于渐进稳定的。

4 总结

论文首先对A/R模型作了简要的概括，同时在研究的过程中发现了该模型引力/斥力函数的计算过程比较复杂，从而影响了整个系统的效率。针对这一现象，论文中提出了改进方案，将引力/斥力函数进行优化改进，既简化了函数，又大大提高了计算效率，同时也分析了改进后模型的稳定性，并通过李雅普诺夫原理给与了模型稳定性的证明。最终得出结论当误差变量e^m≥Q时，系统是最终趋于稳定的。该模型对于以后更深一步地研究人工智能提供了更加快速稳定的方法，并且会在以后的研究中不断改进，使得模型更加完善。

参考文献

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