以导数为例浅谈解题教学

张若谦

（浙江省浦江县第三中学，浙江 金华）

有人说，高三的数学教学就是解题教学。但是解题教学也并非是课堂上大量题目的堆砌，靠简单的题海战术效率是极低的，学生对于这样的课堂也会兴趣索然。中学数学中主要的数学思想有：函数与方程的思想，分类讨论的思想，数形结合思想，化归与转化思想。教学时以体验数学思想为训练的核心，以知识点的应用为载体，以解法为外显的形式，三者有机结合才更符合当下高考对学生的要求。笔者以导数这一内容为切入点，谈谈对解题教学的一些看法。

一、借助导数研究函数的零点问题

此类问题的解决建立在函数图形绘制上，而函数图形的绘制最为核心的部分为函数在各区间上的单调性的确定。故此类问题又可转化为函数单调性。

例1.已知函数f（x）=（lnx+1）a-x恰有两个零点，求实数a的取值范围。

解题分析：由题意，即方程（lnx+1）a-x=0在 x∈（0，+∞）上有两根。对于此类问题，解答思路有三种：（1）构造函数法；（2）变量分离法；（3）数形结合法。

思路探求1：直接考虑f（x）图形，函数定义域为x∈（0，+∞），求得

（1）若a≤0，则f（′x）＜0，（fx）在x∈（0，+∞）上单调递减，不符合题意2。 ＞0∈0＞0∈+

（ ）若a，当x（ ，a），f（′x） ，（fx）单调递增。当x（a，∞），f（′x）＜0，（fx）单调递减。故 （fx）max=（fa）=（lna+1）a-a＞0，得a＞1。

思路探求2：令 （fx）=（lnx+1）a-x=0，转化为方程a（lnx+1）=x，按变量分离的思路，通常会习惯性地把左边的式子除到右边得记原问题可等价转化为y=a与y=g（x）在上有两个不同的交点。讨论y=g（x）的单调性，求得

当单调递减。

当x∈（1，+∞），g（′x）＞0，g（x）单调递增。

但是 g（x）在处无意义，由分析可得，当时，lnx+1→0，整个式子的值会趋向于无穷大。在的左边区域内函数值恒正，因而会趋向于正无穷大。在的右边区域内函数值恒负，因而会趋向于负无穷大。g（x）极小值=g（1）=1，得 a＞1。

方法优化：变量分离后，在绘制右侧函数图形时由于其在定义域内存在一个没有意义的点≠，0对绘制的过程产ln生+1了=极为不便的影响。重新考虑分离，显然a，故对方程a（x）x分离后可得记，当＞0，h（x）单调递增。

当x∈（1，+∞），h（′x）＜0，h（x）单调递减。

因为x→+∞时，lnx+1→+∞，x→+∞，但lnx+1的增长速率远小于x的增长速率，故h（x）→0。当然也可以用洛必达法则求极限可得 h（x）极小值=h（1）=1，故知 0a＞1。

思路探求 3：转化为方程 a（lnx+1）=x后，显然 a≠0，可整理得原问题可等价转化为 k（x）=lnx+1 与在x∈（0，+∞）有两个不同的交点。可得，只需算出过原点的切线l的斜率，设切点为Q（x0，lnx0+1），有斜率的两种表达形式可得方程解得可得

方法点睛：借助导数研究函数零点问题通常要绘制函数图形，而在绘制过程中函数单调性的分析必不可少。有时往往需要把函数零点的问题转化为对应方程根的问题。对于求参数范围的问题就可以使用普遍的三种解决策略进行尝试。

二、借助导数研究不等式的恒成立问题

不等式恒成立问题作为考查函数知识点的经典题型，通常的解决策1略也是较为固定： ⇔

（ ）（fx）＞c（常数）在区间［a，b］上恒成立 在区间［a，b］上，

（2）（fx）＞g（x）在区间［a，b］上恒成立⇔在区间［a，b］上，［（fx）-g（x）］min＞0；

（3）f（x1）＞g（x1）在区间［a，b］上恒成立⇔在区间［a，b］上，［（fx）］min＞［g（x）］max。

若是函数中带有参数，那么其解决的策略也为变量分离法、构造函数法、数形结合法。

例2.已知若（fx）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围。

思路探求：由题意可得恒成立。此时不等式两边均含有x，且左边式子中带有参数a。进行变量分离处理，a＞-x3+xlnx，记 g（x）=-x3+xlnx，只需 a＞g（x）max，x∈（1，+∞）。若能绘制y=g（x）的函数图形，则自然可得。故分析y=g（x）单调性，并求0其导数g（′x）=-3x2+lnx+1。但发现y=g（′x）并不容易直接得出与 的大小关系。若能绘制y=g（′x）图形，自然可得。求其导数得可得x∈（1，+∞），g″（x）＜0，g（′x）在定义域内单调递减。又因为g（′1）=-2，故y=g（′x）图形，

可知当 x∈（1，+∞），g′（x）＜0，可知 g（x）在定义域内单调递减。g（x）＜g（1）=-1，得 a≥-1。

方法点睛：不等式恒成立问题利用三种解题策略，经转化后大多能变为函数的最值问题。在函数结构较为复杂的情况下，可使用导数讨论其单调并以此绘制函数草图。在一阶导数的数值还是较难分析时，就需要分析其二阶导数。为了明晰解题思路，可在解题时绘制“思维流程图”进行辅助思考。

当然，解决这类问题需要从概念出发，综合运用数学结合、分类讨论等多种思想方法。需要从解题策略和数学思想方法上进行思维的优化，只有这样才能培养学生思维的深刻度、灵活度，使解题教学更为有效。