初中常见数学思想方法

安丽敏

摘要：所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，如建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。

关键词：符号；转化；分类讨论；数形结合要想在数学考试中获得好成绩，掌握一些解题思想和方法是非常重要的，从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

一、符号思想方法

符号既可以表示数，也可以表示量、关系、运算和图形。符号思想几乎贯穿于每一章节，没有符号就没有代数、就没有几何，它是简化问题的基本方法。有了数学符号，就能能使问题简明，使过程书写方便。

例如：平行（∥），垂直（⊥），因为（∵），所以（∴），平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，全等（≌），三角形（△）等等

二、转化思想方法

把急待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

例1：如图梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2cm，CD=8cm，AD=4cm，求BC的取值范围.

分析：过点B作BE∥AD，交DC于点E，构造三角形

解：过点B作BE∥AD，交DC于点E，则四边形ABED是平行四边形，因此BE=AD=4cm，DE=AB=2cm.

∴EC=CD-BE=8-2=6cm

在△EBC中，EC-BE

∴2cm

本題通过平移一腰，把梯形转化为我们熟悉的平行四边形和三角形，从而得出结论.

三、分类讨论思想方法

分类思想方法是一种很重要的方法，掌握分类思想有助于提高学生理解知识、整理知识和获得独立知识的能力。运用分类思想解决数学问题要注意两点：一是不能遗漏，二是不能重复。

例1：已知等腰三角形两边分别为4、6，求三角形周长.

解：当腰长为4时，边长为4、4、6，∴周长为14

当腰长为6时，边长为4、6、6，∴周长为16

例2：已知关于x的方程（k2-k-2）x2+（5k-1）x+6=0，若等腰△ABC有一边长为2，另一边长是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

分析：因为△ABC是等腰三角形，而没有说明那两条边相等，所以要进行分类讨论.

解：∵k2-k-2≠0，∴k≠-1，k≠2.

∴△=（5k-1）2-24（k2-k-2）=（k+7）≥0

设△ABC的边长为a，b，c.令a=2

（1）当b=c时，则方程两根相等

此时，（k+7）2=0，即k=-7

把k=-7代入原方程，解得方程两根x1=x2=13.

而此时b+c

（2）当a=b或a=c时，说明方程有一根是2，代入方程得k1=-2，k2=12

当k=-2时，方程的另一根为34，

所以这时△ABC的周长是434

当k=12时，方程的另一根为-43<0舍去

所以满足条件的△ABC的周长为434.

四、数形结合思想方法

数和形是数学的两大支柱，我国著名数学家华罗庚说“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话充分体现了数与形是相互制约、相互依赖的。数形结合贯穿于整个初中数学。数形结合是将抽象的数学语言与直观的数学图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，这样一来问题将由难变易，化抽象为具体.

例：实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式a+b+a

解：有数轴知a<0，b>0，且a

∴a+b>0，∴a+b-a=a+b+a=2a+b

五、方程思想方法

把所求的数学问题通过解方程（组）使问题得到解决的一种数学方法.

例：已知平行四边形ABCD的周长等于48，对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长之差是10，求平行四边形各边的长.

解：∵平行四边形ABCD的周长等于48

∴AB+BC+CD+AD=48

∵AB=CD，BC=AD

∴2AB +2AD=48

设AB=x，AD=y

∴x+y=24

∵△AOD与△AOB的周长之差是10

∴（AD+AO+DO）-（AB+AO+BO）=10

又∵平行四边形对角线相互平分，即BO=DO

∴AD-AB=10，即x-y=10

解方程组得x=17，y=7

∴BC=AD=17， AB=CD=7

本题用方程组来解决几何问题，使过程简单明了.

六、整体思想方法

整体思想是将问题看成一个整体，把注意力和出发点放在问题的整体结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向。

例1：已知：a2+b2=36，a+b=2，求ab的值

解：由a2+b2=（a+b）2-2ab，得

ab=（a+b）2-（a2+b2）2=22-362=-16

例2：若x+2y=6，

2x+y=9， 则x+y=.

分析：本题若用一般方法，即先解方程组，再代入求值，将十分繁琐.仔细观察发现，若将两方程直接相加，再化简，则答案即出.

解：把两方程相加，得3x+3y=15，所以x+y=5.（作者单位：河北省石家庄市第二十中学 050000）