试论整体思想在高中数学解题中的应用

2018-02-26龙芸

新教育时代电子杂志(学生版) 2018年21期

龙芸

（长沙市南雅中学湖南长沙 410000）

引言

高中生想要真正学好数学知识，就必须找到一个适合自己的数学方法。整体思想在高中数学解题中较为常见，掌握方法也比较简单。良好的数学学习方法不仅能够帮助高中生解析教材内容，才能帮助高中生快速掌握更深层次的解题思路和方法，使其在日后遇到同样问题时可以举一反三，达到事半功倍的效果。

一、树立整体意识，引导自主探究

高中生在学习数学知识时经常会因为题目中给出的已知条件不足而找不到解题头绪，在通读多遍题目之后才有可能找到一点思路，但又不确定自己的解题方向是否正确，最终无法完整的将题目解析出来，如果这种情况发生在具体考试中，例如高考、期末考，对高中生的未来发展方向和数学成绩十分不利，因此高中生必须掌握利用整体思想解决数学题的方法。

高中生利用整体思想可以将教师讲解的重难点以及教材上的知识点进行系统划分，构建知识理论框架，从而形成完整的数学知识体系，高中生在做题时将就可以搜索知识体系中的相关知识点，从整体到局部寻找解题思路[1]。当高中生利用整体思想解题时就会发现，所有的解题条件都隐藏在数学题目中，例如在进行三角函数这类的数学题计算时，以往高中生会因为纠结如何计算出角度对应的三角函数而耽误解题进度，如果我们在脑海中利用整体思想构建了完整的知识理论框架，再遇到这种题型就能够迅速反应过来。比如下面这道三角函数题“利用所学知识，求tan25°+tan20°+tan25°的最终值”，利用整体思想可知45°=25°+20°，由此可以得出tan45°=tan25°+tan20°=tan（25°+20°）=1，因为tan（25°+20°）可以写为tan（25°+20°）/（1-tan20°·tan25°），解得an25°+tan20°+tan20°·tan25°的最终值为1。

二、利用整体思想，构建知识体系

1.整体代入法

整体代入法是指将几个不同的式子看成一个整体，将其直接带入或经过变形后到另一个式子中，较少运算步骤，避免因求某个单独变量进行繁琐运算，极大程度上提高了高中生解答数学题的速度。例如“有一个长方体的总面积为11，其十二条棱长总和为24，那这个长方体对角线的值为多少”，对于这道题，利用整体代入法可以先设长方体的长宽高为未知数a、b、c，将其带入对角线公式，可以得出对角线的值为6。又如“代数式4X2-2X+5=7，2X2-X+1的值为多少”，利用整体代入法就可以将2X2-X看为一个整体，将其进行简化并带入条件代数式4X2-2X+5=7，可以得出2X2-X+1=2。

2.整体换元法

整体换元也是整体思想的基本组成部分，主要是指通过探究新元性质将整体计算公式进行换元，从而实现将复杂的计算公式转化成简单清晰、富有条理的公式，进而保证高中生能够更加轻松的计算。例如在进行多项式的数学题计算中，高中生经常因为计算复杂的公式而浪费大量时间，在具有时间限制的考试中会使自己处于十分不利的地位。比如“（a1+a2+a3+…+an-1）（a2+a3+a4…+an-1）-（a2+a3+a4…+an-1）（a1+a2+a3+…+an）”这道多项式计算题，如果按照正常的多项式乘法计算方法将其逐一开展计算就会变得十分繁琐复杂，既浪费时间，又容易出现计算错误，如果利用整体换元法进行计算，对其进行求同存异，那么运算过程就会变得十分简洁，由题可设a2+a3+a4+…+an-1=X，那么原式就可以写成（a1+X）（X+an）-X（a1+X+an），通过解这个式子就可以得出最终结果为a1an。

3.整体构造法

通过对数学解题实践的研究分析可以知道，如果不使用整体思想构建出整体结构，就无法得出简便的解答方法，不仅会使高中生的解题能力受到限制，还会在解析数学题时不能迅速得出解题思路，做出完美简单的解答。另外，在学习数学基础知识时，要重视对其进行概括、挖掘以及提炼，从而构建完整的、系统的知识框架体系。整体构造法主要是指高中生可以根据数学题中的已知条件和所求，通过将公式变形、替换等方法实现相应式子的整体构造，高中生通过对这几个式子进行联合研究，从而得出解决数学问题的具体思路[2]。

4.整体合并法

通过上述几点数学例题的解答，我们可以感觉到，在数学解题中使用整体思想，会使解题过程更加简单明了，且具有创造性，不仅更能拓展高中生的知识范围，促使其形成较为完善的逻辑思维，还能提高高中生的创新创造能力，为其解答数学题寻找更加便捷的解题思路。因此高中生应该利用整体合并法，仔细观察数学问题的要求和题型特点，着眼于全局，把握整体结构，进而寻找出简便算法。例如在进行椭圆题型的解题时，椭圆的计算公式可以通过多种公式变形而来，从而创造出更多灵活多样的数学题目。在与椭圆相关的题型中，经常会给出特定的已知条件，要求我们解出椭圆的方程或者证明椭圆上一点，如果高中生利用普通的一元二次方程来解答此题，就会出现许多未知变量，如果利用整体合并法解答此种题型，在证明或者求解过程中，就可以将几个关系式进行整合合并，让几个关系式相加或相减，从而得出全新的关系式，由于未知变量少，所以能大幅度提高我们的解题效率，节省解题时间。