教学一道例题后的思考

广东江门市江海区外海街道中心小学（529000） 林早星

一、猜想、验证

生：可以利用通分的方法、假设法、画图的方法。

师：可以通过画图把计算几个部分的和转化为求一个正方形减去空白部分所的差。

接下来，让学生通过计算发现和的规律：随着加数越来越多，和就越来越接近1。这个“无限”的概念非常抽象，学生不易理解，教师可以出示一个圆，或一条线段，或一个正方形，让学生根据分数的意义表示这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”。

例题探究到这里，学生已经能感受到数形结合和极限的数学思想，基本上达到了教学目标。但是学生会不会受“无限”这个概念的影响，认为只要后面的每个分数是前一个分数的且一直加下去，结果都是1呢？于是，笔者认为很有必要进行以下的探究。

二、再猜想、再验证

【教学片段2】师：受这道题的启发，你能不能大胆猜想一下“几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和，怎样计算比较简便？

生1：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和，只要用1减去最后一个分数就行了。

师：这个猜想正确吗？

生2：以为例，可发现猜想错误。

师：还能提出新的猜想吗？

生3：如果前一个分数是后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。

由于经历了再猜想、再验证，学生通过画图、举例验证，比较两个猜想的联系，发现关于例题的猜想只适用于特殊情况，这个新猜想才更具有普遍性。

【思考】

1.引导学生数形结合（画图操作），感受用形解决数的有关问题的直观性与简捷性

几何直观符合小学生的思维特点，是最常用的一种解决问题的策略。对于的计算结果，有的学生会说最终的结果无限接近于1，但永远不可能为1。事实上，对于任一有限和“都可以通过再减一项得到更小的数，这正是极限的核心思想。画图可以使数学问题变得直观明了，“图”应成为学生表征思维过程的重要方式，用“图”帮助思考应成为学生的习惯。

2.引导学生掌握推理的方法，确保结论的正确性

归纳推理必须注意两条要求：（1）枚举的数量要足够多,考察的范围要足够广。（2）考察有无反例。在数形结合的基础上，要引导学生猜想有限项的规律并加以验证、归纳，总结出“通用模式”。这样的结论才更具有普遍性，学生也能在这个学习的过程中体会和掌握归纳推理的思想和方法。

3.引导学生从不同角度探索数与形的通用模式，构建数学模型

小学阶段的学习，虽然不要求学生写出一个数列的通式，但学生可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，用自己的语言描述数列的通用模式。学生通过计算发现的和越来越趋向于1，感受到“无限接近”，虽然无法一一列举所得结果，但学生可以利用观察得出的规律进行“无穷无尽”的类推，从而体会极限的思想。

综上，以“前一个分数是后一个分数的2倍的分数加法算式求和”这一知识为载体，运用“转化”和“数形结合”的方法，能使学生经历“猜想——验证——再猜想——再验证”的科学探究过程，体验数学规律形成的过程，感悟探究数学规律的一般方法。