直观实验与逻辑推理的和谐统一——和谐教学法在初中几何教学中的应用

■李 娜

和谐教学不仅注重学生的亲身体验和实践活动，更注重学生抽象思维能力的训练与核心素养的培养。而这两点，恰恰对应了几何教学的两种基本方法——直观实验与逻辑推理。数学是以数量关系与空间形式(“数”与“形”)为主要研究对象的科学，几何学是其中研究“形”的分支。形者，几何图形也。初中阶段主要研究三角形、四边形、圆等平面图形。

几何图形最初来自客观世界中物体的形状，但它们比客观原型更典型、更纯粹、更一般。因此，一般地，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。下面，我结合《等腰三角形的判定（第1课时）》的教学为例谈一谈自己对几何教学中的直观实验与逻辑推理的理解。

一、教材分析

学科知识本身具有系统性，和谐教学要求要立体式宏观把握教材，将本课知识纳入更大的知识体系之中。七年级上、下两册包括“图形认识初步”“相交线与平行线”“平面直角坐标系”“三角形”。学生要先后经历“说点儿理”“说理”“简单推理”几个层次，教科书有意识地逐步强化关于推理的初步训练，主要做法是在问题的分析中强调求解过程所依据的道理，体现事出有因、言之有据的思维习惯。八年级上册“全等三角形”一章，开始正式出现证明，进入较完整的“符号表示推理”层次。从知识内容和学生年龄两方面看，这时比较适宜学习以正规书写格式表示推理证明，为作好由实验几何到论证几何的过渡，教材注意逐步引导学生认识逻辑推理的必要性。从教材中正式出现推理证明后，后续内容注意“一以贯之”，即在“轴对称”“四边形”“相似”“旋转”等内容中，都注意适当体现推理证明的作用，安排一定数量的例题和习题，使对推理论证的要求保持到必要的高度。而本课属于《轴对称》一章，恰逢实验几何到论证几何的过渡的初始阶段，因此，教学应特别注重实验几何和论证几何的微妙关系。

二、多元导入——从发散思维到聚合思维

“导”的形式可以是“激趣”，可以是“设疑”，可以是“复习”。但是，无论哪种形式，“导”的目的只有一个，就是“入”，而“入”得深与浅、恰当与否，则是我们需要深入研究的问题。所谓“多元导入”，并不是一节课用多种方式导入，而是用一种方式导入，同时实现多种功能。

【我的设计】

老师一不留神打翻了墨汁，把等腰△ABC的一部分掩盖了，只留下了一条底边BC和一个底角∠C，你能还原等腰△ABC吗？

学生一般能想到两种方法:

方法1：作线段BC的垂直平分线;方法2：作∠ B=∠C。

教师追问：若∠B=∠C，能判断△ ABC是等腰三角形吗？学生往往会想到上节课学习的“等边对等角”。这里，让学生对比“平行线的性质与判定”的关系、“角平分线的性质与判定”的关系等等，引导学生从逆命题的角度开启“等角对等边”的学习。

这样的设计，在设疑导入的同时，复习了等腰三角形的轴对称性，还引发了学生对等腰三角形的判定和性质的互逆关系的思考。

三、新知形成——重视实验几何

体验式学习是现代学习方式的重要特征之一，是指由身体性活动与直接经验而产生的感情和意识。“看一看”“量一量”“做一做”等直观实验活动在几何学习的初始阶段尤为重要，即使在推理几何阶段的学习中，直观实验也具有重要的辅助作用。我们常借助某些直观特例来发现一般规律，探寻证明思路,理解抽象内容。

【我的设计】

给每位学生发一张三角形纸质学具，先请他们不借助其他工具，证明这个三角形的三个角都不相等；再将这个三个角都不相等的三角形剪成一个新三角形，使得这个新三角形中有两个角是相等的，只能剪一次。

“比较三个角”的操作为剪三角形提供了方向。通过“剪三角形”的操作，学生可以发现“在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”。剪三角形时在纸上留下的折痕，也为后面证明等腰三角形的判定定理中如何添加辅助线埋下了伏笔。

实验几何，可以理解为“通过对几何图形的旋转、翻折、平移、拼接或拆分等各种操作来发现一些几何事实或几何关系”。虽然我们强调，要注重从“实验几何”向“论证几何”的过渡，但是“实验几何”仍具有“论证几何”无法取代的作用。翻看教材，不难发现，教材中大部分定理的给出，都是让学生先通过画图、折纸、剪纸等活动，探索、发现几何结论，然后再对结论进行推理论证。

四、逻辑推理——“一题多解”探方法，“多题归一”悟本质

几何的精妙在于图形的千变万化，但其“变”皆有逻辑可循。随着教学研究的不断深入，直观实验会在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面进一步大显身手。但是，直观实验终归是数学学习的辅助手段，数学不是实验科学，它不能像物理、化学、生物等学科那样，最后通过实验来确定结论。实验几何只是学习几何学的前奏，后面的乐曲建立在理性思维的基础上，逻辑推理是把演奏推向高潮的主要手段。

【我的设计】

本课，我设计了如下三道练习：1．已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC。求证：AB=AC。2．把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个什么图形？即在长方形ABCD中，把矩形沿对角线BD折叠，点C落在C′处。重叠部分△BED是等腰三角形吗？说明你的理由。

学生在做第2题的时候往往会出现两种不同的解法，我根据学生的解法及时总结：在证明两条线段相等时，如果这两条线段在一个△中，首选“等角对等边”；如果这两条线段在两个△中，首选“全等三角形的对应边相等”。完成两道练习后，引导学生回味这两道题。通过观察两道题的题干、问题以及图形，引导学生发现规律：当角平分线与平行线组合时，往往能得到等腰三角形。

通过对第2题不同解法的梳理，归纳出证明两条线段相等的方法，帮助学生形成解题策略，同时深化了对“等角对等边”应用条件的认识。另外，通过对1、2两题的对比，建立起了“角平分线+平行线”的数学模型，为学生今后解决类似问题提供了方便。

在此基础上，我设计了一个新的问题：3．在△ABC中，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线EF//BC交AB于E，交AC于F。根据已知条件，自行推测可能的结论，并证明。

通过让学生自行推测可能的结论，考查了学生对“角平分线+平行线”模型的掌握情况，同时也实现了知识向能力的转化。

练习的目的是什么？是“做一题、会一类、通一片”！一题多解，从不同的角度解决同一个问题，虽采用的方法迥异，但都能达到同一个目的。在这个过程中，学生感受到了殊途同归的奇妙。多题归一，不同的题目采用的做法类似，可以找出此类问题的解题通法。

从以上分析，我们看出，在初中几何教学中直观实验与逻辑推理二者不可偏废，必须达到和谐的统一。学生通过直观体验和逻辑推理，学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。但是，这些并不是几何的全部教育功能．从更深层次看，学习几何的一个更重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平。这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因。因此，从“实验几何”向“推理几何”的过渡成为初中几何教学必须面对的问题。“体验活动是学生发展的根基，学生生命的本性便是活动。”通过体验活动培养逻辑推理能力成为初中几何教学必须实现的教学目标。

（作者单位：天津市北辰区宜兴埠镇普育学校，天津 300402）

（编辑：左秀娟 校对：高 原）