对高中数学概念生成教学的思考——以听“反正弦函数”一课为例

陆燕凤

（上海市嘉定区第一中学，上海）

最近，在某中学听A老师上了一节别开生面的数学概念课“反正弦函数”，我被深深触动了。A老师整节课引领学生一起探讨反正弦函数的来源，让学生在课堂活动中自行获得反正弦函数的概念，引导学生经历从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象的过程，逐步理解数学概念的本质。与其他老师相比，A老师完成的教学内容很少，但是，他在概念生成的环节上不惜时不惜力，给学生创造了充分的思考空间。三角函数对学生来说是高中阶段的一个难点，全新的数学概念和抽象的数学符号，同时反正弦函数又涉及反函数的基本概念和性质，A教师把教学重点放在数学概念生成过程，不仅可使学生加深对反函数概念的理解，而且能为其他反三角函数的学习做充分准备，起到承上启下的重要作用。

以下是笔者结合A老师的“反正弦函数”一课，对数学概念生成教学的思考，笔者认为开展概念生成教学需做到以下几个步骤。

一、了解背景，联系实际

“反正弦函数”这节课中，教师是这样引入的：三角学起源于测量，天文测量、航海测量等都是利用三角形之间的边角关系来实现的。教师介绍三角学起源的背景，让学生感受数学源于实际应用，那么数学在学生的头脑中便鲜活起来。这样的引入简单直接，更贴近学生的生活实际，更能激起学生学习的欲望。数学概念一般来源于实际问题的解决或数学自身发展的需要。在概念生成过程中，介绍概念的发生、发展过程，介绍概念的来龙去脉，能帮助学生更精准地理解数学概念的本质。

二、设计问题，引发冲突

“反正弦函数”这节课中，教师是这样抛出问题的：在解决测量问题的计算过程中，我们总是会遇到这样两大类问题：一类是已知角的值，求三角比的值。然后教师以问题串的形式提出两个问题。问题（1）已知那么角x如何表示呢？问题（2）已知那么角x如何表示呢？对于问题（2），无法用特殊角表示，但从问题（1）的解决过程中知道，可以利用三角函数图象或者三角函数的周期性来理解方程的解，学生的思维经历了从特殊到一般的过程。概念教学中，将概念生成过程问题化，以问题串的形式层层递进，激活学生的思维，让学生在发现问题、解决问题的过程中主动建构数学知识。在教学过程中设计一些能引发学生认知冲突的问题，让学生带着问题去思考，才能有新的发现。

三、自主探究，合作交流

在“反正弦函数”一课中，教师让学生讨论以下问题：正弦函数是否存在反函数？选取怎样的区间，正弦函数才能存在反函数？如果请你定义反正弦函数，你会选取哪个区间？学生在探究的过程中体会到虽然正弦函数不存在反函数，但只要选取某一区间使得y=sinx在该区间上存在反函数，那么用正弦值表示相应角的问题就迎刃而解了，而反正弦函数研究的意义就在于此。数学概念呼之欲出了，而教师却并不急于给出反正弦函数的定义，而是让学生交流为什么选取这样的区间的理由，让学生在问答过程中慢慢靠近反正弦函数的定义，让学生真正参与数学概念生成的过程。概念教学中，教师要尊重学生的主体性，提供充分的思考空间，让学生在探究问题中表达自己的想法，修正自己的发现，完善自己的知识结构。

四、归纳总结，形成概念

在“反正弦函数”一课中，学生在给反正弦函数下定义的过程中，由于没有现成的符号，学生难以表达时，教师帮助学生一起回顾：反函数与原函数对应法则的写法和在研究指数函数的反函数时如何引进新的对数符号。于是，学生在教师的点拨和鼓励下，根据自己的经验，大胆给出反正弦符号x=sin-1y。教师及时肯定学生的表述，让学生真正体会到知识收获的快乐。最后，教师修正符号，引入新的符号arcsin，并且解释arcsin的意义。从概念形成过程来看，学生进行了充分的自主活动，经历了概念发生的全部过程，这对学生把握数学概念本质具有重要的意义。

五、吸收精华，感悟思想

“反正弦函数”一课，教师把教学重点放在概念生成的过程中。教师从具体实例着手，让学生经历“从简单到复杂”“从特殊到一般”“从局部到整体”的思维过程，帮助学生逐步建构数学概念，让学生通过智力参与、主体体验、合作交流等方式，经历“再创造”数学的过程，这是数学概念教学的意义所在。利用本节课的数学思想和研究方法，同样也可以研究其余的反三角函数，于是后续的学习将更加自然顺利。波利亚指出：“与其给人以死板的知识，不如给人以生动活泼的方法，点石成金的策略和手段。”教师应引导学生感悟隐含于概念形成过程中的数学思想方法。

数学概念是数学学科知识体系的基石，是学生理解和掌握数学理论和方法的关键，因此，教师在概念教学过程中必须注重概念生成的过程，帮助学生正确理解数学概念的内涵和外延，把握数学概念的本质。