基于低秩约束的图像去模糊算法

何黎俊

摘要 自然圖像由于其相邻区域具有高度相关性而具有低秩特征。因此，本文设计了基于低秩约束的图像盲去卷积算法，能够恢复出更加尖锐和连续的边缘，特别是在图像含有较少边缘信息时。采用变量分离法将难以求解的目标函数分解为数个易于求解的子问题，最终通过交替迭代更新得到最优解。

【关键词】低秩约束 图像去模糊 算法

近年来，数码相机、手机摄像、电子监控等设备的越来越普及，获取数字图像越来越方便，但是这些图像，由于抖动、散焦或者摄像头品质等原因而导致图像模糊。因此，去模糊算法逐渐成为图像恢复领域的重要问题之一。根据模糊核是否己知，去模糊算法可以分为非盲去卷积和盲去卷积。其中，盲去卷积是图像恢复领域中的一个重要问题，目前的主流算法是基于最大后验概率（MAP， Maximum aposteriori）框架，通过在能量方程中引入不同的先验约束，迭代求解得到恢复的图像。

假设图像被均匀核模糊，则模糊过程可以表示为：

y=x*k十n （1）

其中，y表示模糊图像，x表示真实图像，k表示模糊核，n表示噪声。

1 低秩子空间

其中r表示目标低维子空间的维度，F表示Frobenius范数。这一问题可以通过对D做奇异值分解（Singular Value Decomposition），然后把D投影到前r个主成分张成的子空间，得到低秩成分A。

由于PCA假设噪声是符合高斯分布的，当噪声的幅值较小时，算法非常有效。但是当矩阵被大幅值的噪声所污染时，比如遮挡、缺失、斑点等，这一假设并不成立，从而导致PCA算法失效。

因此，需要从被稀疏噪声污染的数据中恢复出真实的低秩成分问题：

其中，rank （A）表示矩阵的特征值数量，下表O表示LO范数，是矩阵非零元素的个数，λ是权重系数，表示LO范数的重要程度。

鲁棒主成分分析（RPCA，Robust PrincipalComponent Analysis）方法，对稀疏噪声进行建模和约束，利用Ll范数来近似求解LO范数，使矩阵的秩得到较大的降低，从而恢复出真实的低维子空间：

其中，*表示核范数，即矩阵奇异值之和，是rank（A）的近似值，下标l表示Ll范数，即各项绝对值之和，是LO范数的近似值。

增广拉格朗日乘子法，通过在目标方程中添加增广拉格朗日惩罚因子，使函数满足约束条件，从而将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，然后通过交替更新迭代求得优化值。根据增广拉格朗日乘子法，目标函数转换为：

交替更新变量A和E，最终得到数据的低秩结构和稀疏噪声部分。

2 基于低秩约束的图像去模糊算法

基于最大后验概率的框架下，通过对待求变量加入合理的正则化项，使得恢复的数据不仅与观测图像满足一定的关系，而且尽可能与真实图像一致：

其中，y是观测的模糊图像，x是待恢复的真实图像，k是模糊核，P（x）和P（k）表示x、y应该满足的先验特征。

为了恢复X的低秩结构，利用图像的低秩特征，引入核范数进行约束。同时为了保证图像边缘的稀疏性，采用LO范数对梯度进行约束：

由于LO范数的存在，优化上式不是一个容易的问题。对于LO范数的优化，采用变量分离的快速优化方法。对于核范数，采用变量分离方法。通过交替迭代更新，最终得到优化值。

采用变量分离法将LO范数和核范数分离出来，即引入辅助变量u和g，分别等于x和∨x，并且引入增广拉格朗日惩罚因子，从而将优化方程重写为：

因此，在保证最优值近似不变的情况下，对问题进行了合理转化，变成了较容易求解的优化方程。采用交替更新迭代算法，即固定一些变量，求其他变量的最优值，然后交替反复，可以最终得到优化值。

3 结语

夜景图像由于光线不足，拍摄时曝光时间更长，更容易受到抖动的影响而得到模糊的图像。本文设计了一种基于低秩约束的图像去模糊方法，能够克服了这一困难。

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