运用几何直观 助力数学思考

李淑媚

数学思考是一种深层次的、全面的思维活动。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观贯穿整个数学学习过程，而数学思考是数学教学中最有价值的行为。笔者结合自己的教学实践，谈一谈如何在概念、计算、解决问题等方面的教学中运用几何直观来促进学生的数学思考。

一、运用几何直观，建立表象，助力概念理解

概念教学是大多数学教学的起点。有些数学概念比较抽象枯燥，小学生受到自身知识经验水平和思维水平的限制与影响，往往不易理解。合理运用几何直观，帮助学生建立丰富的表象，可以让概念变得形象、有趣，使得他们勤于思考，形象记忆深刻，概念理解变得简单。

例如：教学“角的初步认识”一课。角的概念对于学生来说是极其抽象的。教师创设参观校园的情境，让学生找出各种熟悉的图形，从而引出角的认识。接着，借助实物直观，让每位学生都拿出事先准备的三角尺。学生自选一个角，模仿教师操作，用手摸一摸，初步感知角的顶点和边的特征。当学生对角已经有了一些感觉，便可以借助图形直观，让学生观察图中的物体，如钟面、剪刀、三角尺上的角，想一想角都藏在哪儿，并指出来。教师明确操作要领：要先指顶点，从顶点出发，再分别指角的两条边。借助几何直观让学生充分地感知、认识角以后，教师利用课件演示从实物中抽象出的角。教师引导：“这些生活中的角在数学上该怎样表示呢？你们看，我们把剪刀、三角尺、钟面先请回去，就是数学上的角了。这三个图形都是角。闭上眼睛想一想，角是什么样的？再用手比划比划角的模样。”最后，学生在教师的指导下认识角各部分的名称及特征。

学生通过找一找、摸一摸、指一指，从实物直观、图形直观中抽象出角的形状，初步体会角是从物体表面抽象出来的几何图形，再通过比较不同的角，找到共同特征，逐步建立角的正确表象。让学生在借助几何直观进行思考的过程中发展形象思维和抽象思维。

二、运用几何直观，沟通联系，助力算理理解

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出要发展学生的运算能力。在小学数学计算教学中，我们希望学生算得又对又快，这个目标的达成必须建立在学生准确理解算理，掌握算法的基础上。借助几何直观，能帮助学生积极参与数学思考，理解算理，从而掌握算法。几何直观在小学数学计算教学中起着举足轻重的作用。

例如：人教版三上“笔算乘法”例1一课。对于问题“怎样算一共有多少支彩笔？”学生都能列出算式12×3。这时，教师先让学生估一估12×3大约是多少，接着让学生独立算出12×3的准确结果。有的学生利用乘法的意义列出加法算式，12+12+12=36（方法1）。有的学生用口算10×3=30，2×3=6，30+6=36（方法2）。这时，就有部分学生不太明白方法2的算理。当学生的思维出现障碍的时候，教师及时指导学生通过摆小棒来帮忙理解，并提出活动要求。如摆一摆：摆小棒表示12×3；想一想：想每一个算式对应的小棒在哪里；圈一圈：圈每一个算式对应的小棒。让学生在操作中能有序地思考。

操作活动完成后，教师先提问：“10×3=30表示什么意思，它对应的小棒在哪里？”请学生到黑板前说一说，将对应的算式和小棒圈起来。学生发现10×3=30表示3个十相加，小棒里也有3个十。接着让学生分别说一说、圈一圈2×3=6与30+6=36。在这一环节中，学生借助小棒摆一摆，然后想一想、圈一圈，能够较为顺利地理解方法2的算理，为理解乘法竖式做准备。

课堂最后呈现方法3（列竖式）。教师通过问题：“你们能看懂这竖式是怎么算的吗？”让学生指一指、说一说，初步理解乘法竖式的意义。学生发现12×3用竖式和口算都能解决，进而思考它們之间的联系。教师适时引导学生思考：课件中的小棒图、算式、竖式之间有什么联系。当教师指出竖式中的一个数字（6或3）时，请学生想一想它相当于小棒的哪一部分，也相当于口算的哪一部分。以摆小棒为桥梁，将口算与笔算进行了有效沟通，学生直观地理解笔算乘法的算理，掌握笔算乘法的计算方法。

三、运用几何直观，深入思考，助力数量关系分析

解决问题向来是小学数学的教学难点，纯文字题极大考验学生的数学思考能力，而理清数量关系是解决问题的关键。在教学时，充分利用几何直观，来描述和表征问题情境中抽象的数量关系，能将抽象的问题变得直观。学生在经历几何图形、数学语言、符号表征的合情转化中一次次深入地思考，体会到运用几何直观解决数学问题的优势。

比较下面两道题，选择合适的方法解答。

（1）有4排桌子，每排5张，一共有多少张？

（2）有2排桌子，一排5张，另一排4张，一共有多少张？

例如：进行上述解决问题教学。独立观察两题，都是学生根据以往的知识经验便能直接列式解答的。教材把这样的两道题放在一起，显然是为了让学生在解决问题的过程中进一步区分乘法和加法的意义。如果只借助语言表征来区分意义，学生对问题的思考可能浮于表面。而借助几何直观，便能有效地将具体问题和运算意义联系起来，由此来解释算法的合理性。

在教学中，学生列出算式（1）5×4=20（张），（2）5+4=9（张）。教师适时追问：“这两题中都有4和5，为什么解答的方法不同？你能用什么方法让大家一眼就能看明白吗？”问题激发了学生的思考，他们按照自己喜欢的方法把算式的意义表示出来。有的学生根据题（1）的信息，每一排摆5张卡片，摆了4排。教师顺势引导学生根据信息检查摆图是否正确并启发他们数“1个5，2个5，3个5，4个5”。学生发现要解决的问题是“一共有多少张”，其实就是把4个5加起来，所以用乘法计算5×4=20（张）。教师再让学生检查刚才列的算式是否正确表示了图意。接着，教师展示学生用不同的图示方法，也都表示了“把4个5加起来”。分析第二个算式，学生根据题中信息，第一排摆5张卡片，第二排摆4张卡片，问题也是“一共有多少张”。但这里是把1个4和1个5合起来，所以列的算式是5+4=9（张）。至此，学生惊喜地发现，抽象的数学问题经过摆一摆、画一画已经变得简单明了。最后，教师追问：“现在你们能明白为什么两道题中都有4和5，一道用乘法计算，一道用加法计算吗？”这时，学生已经能用数学语言清楚地进行表达了。

借助替代物，学生经历了摆或画的过程；直观的图示，为枯燥的文字和算式之间搭起一座桥梁。学生借助几何直观进行多次思考，对数量关系的理解清晰而深刻。

几何直观是小学生必须具备的一种数学素养，它可以直观呈现问题的本质，是学生进行数学思考的推动力，有助于他们理解抽象概念，掌握算理，分析数量关系，从而有效地解决问题。endprint