平行和垂直典型例题剖析

平行和垂直是两条直线之间的特殊位置关系，掌握好这两种基本关系对后续的几何学习非常重要.我们要想把所掌握的知识融会贯通、游刃有余地运用到解题过程中去，就必须做到对每节内容的重、难点及知识网络心中有数.下面，我们不妨来回顾一下这两节的重要内容：

一、平行和垂直的知识网络

1.概念：

（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.（2）如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

2.性质：

（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

二、典型例题分析

例1 已知∠AOB，P是平面內任意一点，过点P画直线与OA平行，这样的直线（ ）.

A. 有且只有一条 B.有两条

C.不存在 D.有一条或不存在

【解析】解题时，我们要特别关注条件“P是平面内任意一点”，所以要有分类讨论的思想.当点P在OA上时，这样的直线不存在.当点P在OA外时，这样的直线有一条.故本题答案应选D.

例2 如图1，P为∠AOB的边OA上一点.

（1）画PQ⊥OB，垂足为Q；

（2）画OA的垂线PR，PR与OB相交于点R；

（3）指出所画图形中所有的垂线段：

，其中垂线段PR的长度是点 到直线 的距离，垂线段QR的长度是点 到直线 的距离.

[图1][图2]

【解析】第（1）、（2）小题的答案如图2所示.在画图的过程中要注意以下细节：所画垂线应该是与已知直线垂直的直线，画好之后别忘了标上垂直符号.第（3）小题中垂线段有5条，线段OP、RP、PQ、OQ、RQ，注意不要有遗漏.

另外，在回答后两问时，我们一定要判断清楚垂线段是和哪条直线垂直，故垂线段PR的长度是点R到直线OA的距离，垂线段QR的长度是点R到直线PQ的距离.

例3 利用网格的特征，在图3中完成下面的操作.（1）过点C画直线AB的垂线MN；（2）过点C画直线AB的平行线PQ.

[图3][图4]

【解析】在网格线中作图是一个重要的考点.因此，我们在网格中作图时，必须学会利用网格的特性来画图.

在第（1）小题作图时，我们可以尝试通过抓住角的关系来画.在图4中，∠1+∠2=90°，∠3=∠1，所以∠2+∠3=90°，故垂线必过M点，从而可经过C、M两点画出垂线MN.在第（2）小题作图时，可将线段EF向上平移过C点，当F移动到C点时，E点移动到G点处，从而画出平行线PQ.

希望通过上述关于平行和垂直内容的例子，能够帮助同学们在数学的学习过程中学会总结重、难点.事实上，研究典型例题的解题方法和思路，可以帮助大家领悟数学思想，从而使大家在数学学习的道路上越走越精彩！

（作者单位：江苏省无锡市河埒中学）