刚体动力学问题的统一分析格式

郑慧明



刚体动力学问题的统一分析格式

郑慧明

（华中科技大学 力学系，湖北 武汉 430074）

基于自由度和达朗贝尔原理，提出了分析刚体动力学问题统一格式。自由度决定了所需列动力学方程的数目，而应用达朗贝尔原理将力学问题转化为静力学问题后，可对一个或多个刚体对任意点取矩，在很多情形下可以不引入不需求的未知力。将二者结合，便可确定动力学问题至少需列动力学方程的数目，并能有规律地得到所需静力学格式的方程，从而建立采用达朗贝尔原理分析刚体动力学问题时的统一格式。

自由度；达朗贝尔原理；刚体动力学

在进行机构动力学分析时，由于众多分析方法间存在一定的相关性，选用何种方法、需列多少个及如何列出所需数目的独立动力学方程，是大多数人面临的难题。本文基于自由度和达朗贝尔原理，提出了分析刚体机构动力学问题统一格式。

1 自由度与动力学方程数目的关系

对于一般机械系统来说，各构件往往被视为刚体。对于个自由度机械系统，假设其广义坐标为x()，＝1,2,3,…,。给定时刻个x()，就可以确定系统该时刻的位形，因此可以确定系统的任意点的坐标，比如x()＝(1,2,3,... x)。

2 基于自由度的动静法分析刚体动力学问题统一格式

相对于动量/矩定理，对于多个刚体，采用动静法将在很大程度上可以避免引入刚体间或其他不需要求的未知力。相对于功率方程，对于2个及以上的自由度系统，若做题第一步不是采用广义坐标来表示速度和加速度，那么采用功率方程求解，还需要补充其它动力学方程，一个问题采用多种方法思路比较混乱，分析也比较复杂。对于一般教科书上所讲的应用动静法解题时[1-4]，在惯性力简化后，仍是比较盲目地列静力学格式的动力学理论的方程和运动学方程。若所列的方程数目少了或列了相关的不独立的方程，等到发现无法求解时，不知道问题到底出在何处，也不知下一步是从运动学还是从动力学找方程。这是分析动力学时遇到最棘手的问题，一般的解决方法是反复计算和尝试不同方法，这样不仅会浪费很多时间，而且还是很难找到规律性的方法。如果能确定至少需列的动力学方程数目并且容易列出具体的方程，则使问题变得有规律，不会漏掉或多列不必要的动力学方程。

下文提出的基于自由度的动静法，具有规律性，使许多不同的机构动力学分析统一在自由度的概念下，分析步骤也变得有规律可循，可以得到按如下步骤分析刚体动力学问题的统一格式。

（1）惯性力简化。

（2）根据前文的结论确定至少需列的动力学方程数目＝－＋

（3）列出个静力学方程。

为了容易得到个静力学方程，在静力学平衡问题教学中采用与一般教科书上不同思路的分析方法[1-4]。对于个刚体的平面静力学系统，最多可以列3个独立方程。但列过多的方程，不仅增加计算，而且难以找到规律性的方法。所以在静力学中，若需求个未知力，坚持尽量不引入新的不待求力的原则，则容易排除其他不太合理的方法。具体实施时，先取整体为研究对象，整体可列3个独立方程，若只有（＜3）个不待求力，则必然可列（3－）个仅含待求量的独立方程。然后再取局部为研究对象。对于局部对象，有不同的选取方法。为了避免引入不待求的未知量，尽量不要拆分，一般可从待求量出发，用画线的方法，由近及远向四周延伸到没有未知力偶矩的点，将从待求量到该点所囊括的所有刚体作为研究对象，对该点取矩。若会引入不待求未知力，暂且放弃此路线，退回再从待求力出发画其它的线。

对于动静法，由于有的加速度对应的惯性力也是未知量，在取局部为研究对象时，不容易确定如何画线。此时，可以看一个刚体或多个刚体上的不待求未知力个数，若其上只有（＜3）个不待求力，则可以列（3－）个仅含待求量的独立方程。

（4）补充运动学方程。

列了个动力学方程，还需补充运动学方程。因为动力学方程建立的是切向加速度（或角加速度）与力（或力偶矩）的关系，所以运动学方程首先需要建立加速度关系。因为加速度关系会引入法向加速度和科氏加速度，再进一步补充运动学的速度关系。

（5）求解

在运动学加速度方程中消去动力学方程未出现的加速度量，得到新的仅含有动力学方程中出现的加速度量方程，与个动力学方程联立求解即可。

3 举例

3.1 例1

在光滑水平面上放置一直角三棱柱体，其质量为1，可沿光滑水平面运动；质量为2、半径为的均质圆柱体，在三棱柱体的斜面滚下而不滑动，如图1所示。设三棱柱体的倾角为，试求三棱柱体的加速度[4]。

[解法]：

（1）因为是2个自由度系统，所以优选动静法。

（2）圆柱体的惯性力只能向质心点简化。

（3）2个刚体，2个自由度，未告诉任何切向加速度信息，不求任何真实力，则列2个静力学格式的方程。

图1 例1图示

[整体]：可列3个独立方程，但有2个不待求的未知量和，故只能贡献一个方程，为了不引入和，只有∑＝0：

[再局部]：因为局部有4个未知力，只能选局部，局部只有处的2个未知力，可贡献1个；[轮C]∑M＝0：

再补充加速度关系（动点为，动系为）

该题分析方法很多，有人采用水平动量守恒定理和机械能守恒定律，再通过运动学的速度和加速度关系来联立求解。但该方法很复杂。若三棱柱体上有一水平力或地面存在摩擦力，该方法就变得更复杂。但根据本文提出的理论，由自由度的数目可知，2个自由度不宜选用此方法。此外，若由其他动力学原理得到另一个方程，只要没有引入新的未知力，该方程虽然与上述动静法得到的2个方程形式上差异很大，必然可由该2个方程和运动学方程推出，比如由机械能守恒定律得到的一个功率方程，其具体相关性很难证明，但基于自由度的上述计算出所需列动力学方程的数目就直接得出其必然相关的结论了，不用再多列不必要的方程。

3.2 例2

如图2所示，在未知力偶矩作用下，杆以角速度作匀速转动，圆盘在地面上做纯滚动，尺寸及各构件质量均已知，不计地面对轮的滚动摩擦，求此时地面对轮的支持力和静滑动摩擦力。

图2 例2图示

对于该题，自由度为1，若求力偶矩，由本文方法可知，优选功率方程。若求不做功的力则优选动静法，比如求此时地面对轮B的作用力，由本文动静法统一分析格式知需列动力学方程数为：1个自由度－1个已知角加速度量1＋2个待求力＝2个。惯性力简化后，取[轮]：∑M＝0；取[轮B＋BA]：∑M＝0；再补充运动学加速度和速度关系方程，便可求解。

3.3 例3

图3所示系统由静止释放，地面光滑，求释放瞬时轮心C的加速度。

图3 例3图示

对于该题，自由度为4，若用水平动量守恒和机械能守恒定律，动力学方程数目仍不够。因为还可列很多运动学方程，下一步往往不知是从运动学还是继续从动力学列方程，故往往会漏掉或多列了动力学方程，经过多次试探才能求解，有时还可能列出相关的动力学方程。由本文理论知该题优选动静法，按统一分析格式知需列的动力学方程数为：4个自由度－0个加速度＋0个待求力＝4个。惯性力简化后，按照本文静力学列方程的方法，先整体：可列有用方程数为：3个方程－1个地面对轮的不待求未知力＝2个，即：∑＝0；∑M＝0；再局部[]可列有用方程数为3个方程－B点2个不待求未知力＝1个，即：∑M＝0；由近及远取[＋]可列有用方程数为3个方程－点2个不待求未知力＝1个，即：∑M＝0；再补充运动学速度关系方程，便可求解。

此外，上述思想也可推广到求一个过程的速度变化和轨迹问题。在求过程速度变化问题时，已知个速度信息，按上述方法，确定至少需列－个动力学积分方程。由于动能定理积分形式不会引入与速度方向垂直的力，先用动能定理积分形式列1个，余下所差方程由动静法积分得到。在求点（,）的轨迹问题时，将系统中某一个坐标（比如1）当作自变，轨迹问题就转化为求1时，点（,）的位置。那么，对于个自由度系统，假设一个坐标为自变量后，则确定至少需列－1个动力学积分再积分得到位置关系方程后，再补充几何位置关系方程。

3.4 例4

如图4所示，半径为、质量为的薄圆环直立在光滑水平面上；环上有一质量为的甲虫。初始环和甲虫静止，后甲虫突然启动达到相对圆环以匀速沿圆环爬行（设从启动到达到甲虫位置不变）。求甲虫开始运动达到相对圆环以匀速沿圆环爬行时圆环的角速度[4]。

教材[4]上一般应用动量守恒和动量矩守恒定律求解。具体如下：

[解法1]：甲虫从静止到以匀速开始运动，在很短的时间内完成，可以视为冲击过程，在此过程中系统的位置不变。由系统水平动量守恒，得：

由系统对固定点动量矩守恒，得：

由式（4）、式（5）解出：

这种方法容易看得懂，但不容易想到，比如动量矩守恒可能想不到，也不明白为什么要列2个方程而不是1个或3个。但对于复杂的找不到方程或不知要找多少个动力学积分形式的方程的问题，此动静法可解决这方面的困惑。对该题根据上文的选择原则，可采用动静法积分形式。3个自由度－1个已知相对速度，故需要列2个积分方程。因为虫子做功未知，所以不选用动能定理积分形式，2个方程全部由动静法积分得到。大致步骤如下：惯性力正确简化后，先[整体]：只有一个未知力，故可列2个有用的方程，即：∑＝0（积分并利用运动关系得到解法1中的式（4），即动量守恒）。∑M＝0（积分并利用运动关系和上式得到解法1中的式（5），即动量矩守恒，实际上可以对上任意一点取矩均可，但只能选用其中的2个方程）。再补充速度关系。

3.5 例5

如图5所示，半径为，质量为1的光滑圆柱放在光滑水平面上，一质量为2的小球，从圆柱顶点无初速下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。

该题动力学方程采用系统质心水平位置不变当然最简单，但不易想到上述方法，比如想不到质心x＝0和不明白为何只列1个动力学方程。若从动静法入手，很容易想到，只是计算量大一些。根据本文方法，该题2个自由度，但是求轨迹，可将问题可转化为：已知x，求对应的2的坐标（,），然后，消去自变量x，就得到轨迹。由于假设了一个坐标变量x，所以需列动力学方程数＝2个自由度－1个已知坐标0＝1个。故惯性力简化后，取整体为研究对象，地面对有未知支持力和力偶矩，故可列3－2＝1个静力学格式的方程：∑＝0，积分再积分后就得到系统质心水平位置不变。然后再补充2与距离为的几何位置关系，得到用自变量o表示的（,），消去自变量x，就得到轨迹。

图5 例5图示

4 结语

本文基于自由度和达朗贝尔原理，提出了分析刚体动力学问题统一格式。需要说明的是，本文的方法只能确定至少需列方程的数目，这在大多数情形下是可以不引入不待求未知力找到最少的方程。但有时仍会引入不待求未知力，不过，基于此文的思想，结合应用虚位移原理仅用1个动力学方程就求解任意复杂的静平衡系统的任意一个未知力的优点，得到动力学普遍方程，就可以准确确定动力学方程数目，使动力学问题变得更有规律。

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室. 理论力学（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2016.

[2]洪嘉振，刘铸永，杨长俊. 理论力学（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2015.

[3]周又和. 理论力学[M]. 北京：高等教育出版社，2015.

[4]何锃，赵高煜，郑慧明. 理论力学[M]. 武汉：华中科技大学出版出版社，2007.

Uniform Format of Analysing Rigid Dynamics Problem

ZHENG Huiming

(Mechanics Department, Huazhong University of Science And Technology,Wuhan430074,China)

A uniform format is proposed in tackling dynamical problems of rigid bodies based on degree of freedom(DOF) and D'Alembert's principle.The necessary number of dynamics equations depends on DOF.Applying D'Alembert's principle, dynamical problems can be transferred into statics problems which helps us establish statics moment equilibrium in an arbitrarily point.Therefore,the unrequested unknowns are not introduced in most cases. Combining DOF and D'Alembert's principle，one can know the least necessary number of dynamics equations and regularly find statics format equations to establish a uniform format in solving dynamical problems of rigid bodies.

degree of freedom；D'Alembert's principle；rigid body dynamics

O313.3

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.01.005

1006－0316 (2018) 01－0024－05

2017－05－19

郑慧明（1968－），男，湖北蕲春人，博士，副教授，主要从事振动和耦合动力学方面的研究和教学工作。