浅谈数学模型在数学教学中的应用

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(枣庄市第二十中学)

一、建立数学模型的意义

数学模型是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型。确切地说，数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。一切数学概念、公式、理论体系、算法系统、表格、图示等都可称为数学模型。

数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型来解释现实问题的应用过程。

如在探究三角形全等的条件中，通过体会三角形的特征，建立全等三角形的基本模型。从而明确依靠三个角都相等是不能判别出三角形全等的，而三条边都相等的三角形却是全等三角形。在建立了全等三角形的数学模型后，得出全等三角形的判定方法“边边边(SSS)”，从而又通过边角的对应关系，得出其他判定方法还有“边角边(SAS)”“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”。可见，数学建模是一种数学思想方法，是运用数学的语言和方法，遵循数学规律，通过抽象、简化出解决实际问题的一种强有力的数学手段。

二、促进学生形成数学模型的策略

数学建模是培养学生应用数学知识解决实际问题的过程，在建模过程中加深对数学知识的理解，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

如“一次函数的简单应用”的教学设计没有直接告诉学生如何进行一次函数模型的构建，再让学生经历一次具体的练习，根据学生已有知识和经验进行大量的探索和尝试，教学始终关注学生的课堂生成，一切生成都源于自然.学生从平均数出发，利用总数平均数、增长率平均数、增长幅度平均数等平均数原理构建方程模型，在不断的讨论中，逐步生成函数模型，在函数模型构建中关注模型的形成过程，即一次函数如何选择两个代表性的点，对不同的选择方式进行充分的论证与比较，最终形成了一致的认识：选择两个具有适当距离的点构成一条直线，其余各点均匀分布在直线两侧。

整堂课，学生经历“自主构建—争论论证—再构建—再论证”不断完善模型的构建过程，数学模型的构建完全由学生自发生成，所有模型的生成均显得自然、合理。在模型选择中，完全放手让学生进行比较分析，重视学生的学习体验。在模型构建教学中让学生学会选择和比较，在模型应用中发展学生的综合能力。

根据上面的课例可以看出，数学建模的形成受诸多方面的因素的影响，我认为可以从以下方面去考虑：

1.教师的促进性技能，教师一定要营造一种积极、探究的环境，在这个环境中，学生能进行思考、分析、解决问题，学生的想法和问题是被尊重的，教师和其他学生应对这个学生的想法给出建设性的反馈。

2.教师的数学素养，教师要很好地理解与情境相关的数学知识以便引导学生提出质疑并在倾听的时候进行反思。

3.教师和学生使用多种表征方式和数学工具，如动态几何软件、电子表格、网络、图形、计算器等。

4.大量采用开放式的问题．有的问题具有多种可行的答案，多种表征方式和多种解决办法．而有些人为设计的问题似乎会出现在真实的情境中，但并不是真实的或者不符合认知要求。

5.问题情境。选择现实的问题是非常重要的，那些与学生的经历相关、能激发学生兴趣的现实问题是首选的。

三、建立数学模型的步骤。

根据个人的教学经验，认为数学建模的建立，需以下步骤：“模型的假设与准备——模型的建立与求解——模型的检验与分析——模型的应用与总结。”

1.模型的假设与准备。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌握对象的各种信息.弄清对象的特征，用数学语言来描述问题及其本质。

2.模型的建立与求解。在假设的基础上，利用对象的内在规律和适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所有参数做出计算(估计)。

3.模型的检验与分析。将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复整个建模过程。对模型解答所得结果进行数学上的误差判定，数据稳定性等分析。

4.模型的应用与总结。应用方式因问题的性质和建模的目的而异。数学建模的过程是提升学生数学能力的必由之路与有效手段。事实上，所有的公式、定理的教学都是数学建模的教学。其中，公式、定理结论的发现、正确性的验证、结构的提炼、符号化表征就是建模过程；将具体问题的条件、结论结构与模型特征对比分析，并转化为熟知的公式、定理的条件，使演绎或运算过程简化，这个过程就是模型运用过程。

四、培养学生数学建模素养应注意的地方

建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。

1.改变以教师为中心、以知识传授为主的传统教学模式。教学中应以学生为中心、以问题为主线、以培养能力素养为目标来组织教学工作。如在教学代数式方面的知识时，让学生充分体会一次函数、方程、不等式的意义，关注概念、法则、性质等形成的过程，重视法则、性质在解决实际问题中的运用，培养识别图表信息的能力。

2.加强对学生数学技能的训练，如解方程或方程组。将数学与现实、静态与动态结合在一起。教学中不仅关注数学内容的掌握，还特别注重应用意识。引导学生善于用数学知识和思想方法分析生活中的数学现象。

3.改变学生的学习方式。数学建模是一个综合性的过程，它具有问题性、活动性、过程性、探索性，因而它不同于单纯的数学解题，这给学生学习方式的改变带来了很大的空间。

总之，建模教学，既不是凭空创造新结论，也不能一切都模型化。教学中要通过定理、公式的归纳与证明、发现与推导、选择与运用，培养学生的建模意识，并在这个过程中积累解决数学问题的经验。

教材规定：“经过证明的真命题称为定理”，数学中被证明的真命题不计其数，为什么不是都称为定理、公式呢？例如，“一线三等角”问题，只需等角转化便能解决，况且其特征表述复杂，不宜作为数学模型。在教学中我们会有不少疑问，如“直角坐标系的中点坐标公式能不能直接用？”“能直接用射影定理吗？”等问题，这说明教师潜意识里还是以太多的模型记忆替代数学本质方法的探究。如果任由数学“模型”泛滥，学生必然要记住无穷尽的数学模型，会留给学生更多的机械记忆。