数学

数值格式的稳定性、相容性和收敛性

许进超

摘要：目的：本文提出一套理论框架，用相容性、稳定性和收敛性来刻画和分析数值格式，证明三者间的包含关系，并例证这套理论在数值格式分析中的应用。方法：稳定性、相容性和收敛性属于数值分析学科中最基本的几个概念，经典的数值分析教材都含有用稳定性、相容性和收敛性3个概念刻画数值格式与分析三者间的相互关系的内容。本文提出新的理论框架，探讨了数值解向精确解的收敛过程，不需要对离散输入数据的取值范围预作设定，原则上可以处理时间发展问题和静态问题。在本文提出的等价定理的框架下，数值格式的收敛性分析将归纳为稳定性分析和相容性分析两步；这样的一个分析程式广泛适用于不同的数值格式。我们针对变分问题的离散格式，例示了用本定理进行格式分析的具体程式。此外，数值格式的稳定性、相容性和收敛性是互相协调的，在一定的稳定性假设下，较高的相容性会导致较好的收敛性；另一方面，对相同的数值格式，在不同的稳定性条件下，可以藉由不同的相容性结果，得到不同的收敛性结果。结果：我们按照有限元方式和差分方式分别计算了Poisson方程线性元离散格式的相容性误差。作为本文的另一个主要结果，我们证明线性元离散格式按照差分方式分析，可以是不相容的，并且如果线性元离散格式在差分方式下相容，那么，我们可以获得相对应的超接近性结果。本文的理论结果说明了稳定性分析和相容性分析在离散格式收敛性分析中的必要性，并一般性地指出进行前两种分析的形式和要求。这套理论框架可以用来分析不同问题和不同离散格式，而对相同的离散问题，该框架也可以甄别和容纳不同的相容性和相应的收敛性；很多经典结果实际上是这个一般结果的某些具体形式。此外，我们例证较好的相容性可以对应更好的收敛性或逼近性质，从而给出改进算法的一个方向。结论：对比较广的一类问题及其数值离散，本文定义了离散的稳定性、相容性和收敛性，并分析这三者间的包含关系。用稳定性、相容性和收敛性来刻画和分析数值离散格式是数值分析的基础性内容，本文的工作原则上可以向更一般的问题形式推广。下一步，我们将研究如何在更一般的条件设定下建立理论框架和如何针对更一般的数值格式应用该框架进行分析，并进一步探讨比较一般和抽象的理论研究对具体格式设计的指导机制。

来源出版物：中国科学（数学）, 2015, 45(8): 1205-1216

入选年份：2015