数学建模思想融入高等数学课程的研究

潘璐+杜勇

摘 要：微元法是一类重要的数学模型和工具，有着广泛的应用。如何灵活有效的运用微元法去解决实际问题，是微积分教学中的一个重点和难点。本文通过举例分析总结，将微元法的应用步骤和过程归纳为：①建立适当坐标系；②选变量，定范围；③找元素；④求总量。并结合实际例子的不同求解方法过程进行比较说明。

关键词：微元法；数学建模；转动惯量；做功

一、 序言

高等数学是大学中一门重要的公共基础课程，它在物理学、经济学及工程技术等领域中有着广泛而重要的应用，而数学建模思想方法是学习理解掌握和应用数学知识的一个有效的重要途径。数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁，整个数学建模过程就是发现和分析问题，创造性地运用数学知识解决实际问题的系统过程。高等数学的教学内容中有许多重要的数学模型，比如函数模型、导数模型、微分模型、积分模型、微分方程模型等，它们大多都是为了解决实际问题而建立起来的数学模型。其中微元法就是解决求总体量的一类重要数学模型。微元法也称为元素法，是微积分学的重要思想方法之一。微元法不仅成功地解决了诸如不规则平面图形的面积、曲线弧的长度、旋转体的体积等初等数学难以处理的几何问题，而且也广泛应用于力学、电磁学以及其他的工程技术领域中。

如何灵活有效的运用微元法去解决实际问题，是微积分教学中的一个重点和难点。

二、 微元法的原理及应用步骤

牛顿—莱布尼兹公式可理解或解释为：一个量的局部微小改变量在整体范围每一点的无限累积结果，就是这个量在整体范围的总改变量（或总量）。或一个量在整体范围的总改变量（或总量），就是由这个量的局部微小改变量在整体范围上每一点的无限累积而成。这就是微元法的思想和原理。

（一） 微元法的应用条件

如果一个量Q的总改变量（或总量）满足算术相加性（即整体量是部分量的简单相加），

则可考虑用微元法求总体量。一般的标量都具有此特点，如长度、面积、体积、转动惯量、质量、功等等。如果Q是一个向量，如引力、场强等。则向量之和不满足简单的算术相加性，但它在某一固定方向上的分量满足算术相加性。所以，可以对向量在某一固定方向上用微元法求其分量之和，然后再按向量合成方法求得总向量。

（二） 微元法的应用步骤

微元法的应用过程可归纳为下列几个步骤：①建立适当坐标系；②选变量，定范围Ω；③找元素dQ；④求总量Q=∫QdQ。其中，坐标系的选择，一般有数轴、直角坐标系、极坐标系、球面坐标系等，要根据所求量的分布范围特征（比如对称性等）去选择。变量的选择，一般根据选定的坐标系和问题的特点去选择。若所求量分布在线上，则一般选一个变量；若分布在面上，则一般选两个变量；若分布在立体上，则一般选三个变量。应根据所求量分布的范围特点，以选择较少的变量并使计算总量的积分过程简单容易为原则。范围Ω的确定，一般就是把研究对象向变量所在的坐标系投影而得到的区域范围。元素dQ的寻找，一般是对选定的变量都给以增量，在对应的局部微小范围内，寻找Q的部分量的近似值而得到元素dQ（局部以不变近似代替变化）。找元素是比较困难的一步，也是最重要的一步。总量的计算，Q=∫QdQ就是无限累积的结果，也就是把找到的元素在确定的范围上积分的过程。根据所选变量的个数分别为一重积分、二重积分和三重积分等。

三、 微元法的应用举例

（一） 求质量。不同几何体的质量计算公式为m=∫Qdm，其中ds、dS、dV分别表示弧长元素、面积元素和体积元素，ρ为密度函数。上述公式中，当密度ρ=1时，总质量公式就变成对应的曲线的弧长、曲面的面积和立体的体积公式了。

下面对立體质量的计算过程作一说明：

1. 在直角坐标系下

以上6种解法中，解法1、2、3选取变量较少，具有一定的特殊性；解法4、5、6选取变量较多，具有一般性。具体求解时应根据实际问题灵活运用。

四、 结语

微元法是微积分学的重要思想方法之一，也是一类重要的数学模型，它在众多领域有着广泛的应用。应用微元法的关键是选取适当的变量和寻找元素。变量的选择应使元素好找，并且总量积分好算。应根据问题的特点灵活地建立坐标系并选取变量，一般尽量选取比较少的变量，并使问题简化，容易求解。寻找元素时，一般是通过在局部以不变近似代替变化而得到部分量的近似值，即为所求的元素。但要注意近似代替后的误差是自变量改变量的高阶无穷小。

参考文献：

[1] “高等数学”第五版[G].同济大学出版社.

[2] “大学物理”[G].人民邮电出版社.

[3] 关于微元法的一个注记[G].方涛上海工程技术大学学报，2015，6.

作者简介：潘璐，杜勇，甘肃省兰州市，兰州交通大学博文学院。endprint