数学竞赛题求解的一种“由果析因”法

张建军++宋业新++纪祥鲲

摘 要：本文研究了“由果析因”法对提高数学竞赛中解题水平的作用。分析了数学竞赛培训中提高学生分析问题和解决问题能力的重要性，通过典型实例阐明了求解数学竞赛试题时如何运用这一方法有效地、有针对性地对问题进行科学分析，并确定出解决问题的路线和方法，帮助参赛学生更深刻地理解和掌握数学竞赛中这一重要的思维方法，有助于培养其良好的数学素养。

关键词：数学竞赛 高等数学 罗尔定理 分析问题 解决问题

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）11（a）-0231-02

全国大学生数学竞赛从2009年开始至今已经举办了八届，作为全国性的高水平学科竞赛，为大学生提供了一个展示其数学思维和数学基本功的平台，对创新人才的选拔意义重大。数学竞赛重在考核学生运用所学数学基本理论和基本方法分析问题和解决问题的能力，该项竞赛在同类竞赛中当属难度最高。我们指导学生参加该项竞赛多年，在历次竞赛特别是近三年中所指导的学生参加决赛均取得佳绩，其成绩在全国名列前茅。总结该项赛事培训工作的实践，我们深深感到，要使得学生在这种重大的单兵作战的赛事中，在短短的3个小时的时间内，高质量地完成一系列具有相当难度的、平时培训和训练中极难见到的难题，殊非易事。很多在高等数学的课程考试中获得过优异成绩的学生，在竞赛中对于考核基本功的常规题型，往往能应付自如；但一旦遇到从未见到过的题型，就顿时慌了手脚，不知从何下手，难以考出好的成绩。为避免出现这种现象，一方面需要在高等数学课程的日常教学中为学生掌握基本理论和基本方法狠下功夫；更重要的是在进行竞赛的培训授课时，教师不仅要在问题的宽度和深度上狠下功夫，特别要将重点放在培养学生掌握求解数学问题的一系列科学的方法上面，这种方法可以简单地称之为“解题的数学思维方法”，使得学生掌握了这种解题的基本思想方法以后，再遇到从未见到的所谓“难题、新题”时，不会感到束手无策，而是能有条不紊地、有针对性地对问题进行科学分析，确定出解决问题的路线和方法，再运用其严谨的推理能力和快速准确的计算能力，难题就能迎刃而解了。

1 求解问题的“由果析因”法

本文所提的“由果析因”法，指“由结果分析原因”的一种思想方法，指的是学生在扎实掌握学科的基本理论和基本方法的基础上，对于要求解的各种问题，通过科学地、有效地分析问题寻求的目标或“果”（即问题中欲证明的结论或欲完成的计算），再采用启发式和发散思维方法，多层面、多角度地分析其所反映的逻辑关系或数量关系，反向从题中的条件中寻求达到这一目标的前提条件或“因”（即证明欲证结论或获得计算结果的条件、方法）。实践证明，在竞赛的培训工作中贯穿这一解题方法，能有益于学生科学性、流畅性、变通性和独创性思维的形成，有效地培养他们分析问题的数学素养，进而真正提高其解决复杂问题的能力，在数学竞赛考试中获得佳绩。本文针对两个典型的竞赛题型，重点介绍我们如何帮助学生科学地运用“由果析因”法去分析问题进而解決问题的过程。

2 “由果析因”法求解数学竞赛题的具体做法

运用“由果析因”法求解难题，教师首先应该让学生明白以下三点：第一是竞赛试题常常是难点重重，但无论多难、多新的问题，都必须也可以进行科学的分析，没有分析就不可能解决疑难问题，要养成分析的习惯；其次也是最关键的，如何分析问题是反复思考、自觉训练形成的一种数学核心素养，绝不是一日之功；最后，分析问题只是解决问题的前提，要解决问题，还要以严密的逻辑思维、快速准确的计算作为基础。教学实践表明，将这几个问题讲透彻，学生才能自觉加强训练，在实际解题时就能不断感受到解题能力的提高。

例1：设函数在上连续，且，，证明：存在，使得。

分析：这是一道较难的题目，很多学生看到要证明的结论，完全没有头绪。首先，的表达式没有给出，不能直接验证的存在性；其次，这里要证明的“果”是所谓的“中值”的存在性，容易让学生联想到罗尔定理等三大“中值定理”，但“果”中满足的是不等式，运用这些中值定理都很难奏效；再者，尽管泰勒定理有时可用于证明不等式，但要从题中寻求能运用泰勒定理的“因”却让人失望，因为函数仅在上连续，远远达不到具有高阶导数这一条“因”；常规方法都卡了壳，困难出现了，因此需另辟蹊径。

教师要引导学生进一步深入分析：既然直接证法不奏效，若反过来想：“存在中值满足不等式”的反面，正是“对于区间中的任意，反向不等式均成立”，可以看到，原来问题的“难”，有可能可以通过采用反证法化解；为什么呢？再深入分析，原来题中提供了所满足的一组等式，它们可能就是我们要用的“因”。这样，通过科学地分析问题，就找到了解决问题的方法——反证法，即：假设，均有。要提醒学生，这是一个广泛性假定，因而可以被用于区间性的量（比如定积分）的计算或估计。同时，如何利用“由果析因”法去导致矛盾呢？其实，分析题中条件可见与任意次多项式相乘后在上的积分都很容易求得，比如，而求得的结果很有可能会与运用上述假定获得的结论相矛盾。这样就在心中勾画出解决问题的过程。

解：假设，均有。考虑积分，依题意，易见；但根据上述假定又有：

这就导致了矛盾！因此存在，使得。

证明如此之短。可以看出，正是有了对问题的科学分析，才导致了“简单明了”的证明。教师要使学生明白，分析是解决问题的关键，这一切都是“由果析因”法分析的结果！

有的学生一定会问：为何不直接用，或等形式更“简单”的积分去“导致”矛盾呢？教师可留下这个悬念，让学生课后讨论、亲自算一算，看看究竟能不能导致矛盾，体会题中积分的妙处。其实，通过不断的思维训练，把“由果析因”法内化成为一种自觉的思维方法和数学素养，这也是竞赛培训的主要目的之一。

例2：若是实数集上的一个无穷次可微的函数，且 ，，试计算（）的值。

分析：要计算在处的各阶导数，题中只给出了在序列中各点处的函数值，而没给出其明确的表达式，那么能否由条件直接解出函数的表达式呢？怎么看都难以下手。该如何选择具体的解题方法呢？endprint

其实我们并不需要的表达式，要计算问题的“果”即，只需利用已知条件（即问题的“因”）充分研究在的性态，逐步（可能是递归地）确定其在该点的各阶导数值即可。事实上，由条件容易看出，与函数在处恰好有相同函数值，即函数在数列中各点处的函数值均为零，因此函数与函数在（恰好是数列的极限！）的各阶导数值会有密切关系。因此，通过“由果析因”法就找到了解决问题的“突破点”，即本题可采用辅助函数法，只要确定了函数在处的各阶导数值，实际上也就求出了在处的各阶导数。

问题转化为确定在处的各阶导数值，其实从（）出发，运用罗尔定理就可以获得一个新的趋于0的数列，且，再由的连续性，就可以求得了，余下的步骤就能水到渠成、一气呵成了。以下简要揭示解决问题的过程：

解：令，则亦无穷次可微，依题意，；令，则是一个使（）的单调减少趋于0的数列，由罗尔定理可知，存在相应的单调减少趋于0的数列，使得，，。

由于数列趋于0，由夹逼准则知亦趋于0，再由无穷次可微可知，在处连续，因而；依次对函数采用上述同样的方法，可得，。由于；上述结果表明与函数在恰好具有完全相同的各阶导数值，即，。再由幂级数展开式（），可知：

通过上述两个问题的教学设计，使学生看到了求解一个复杂问题的过程中，极限的夹逼准则、羅尔中值定理、幂级数展开式、数学归纳思想等高等数学基本理论的综合运用；更重要的是，让学生充分意识到分析问题的思想方法的极端重要性，使他们体会到“由果析因”法的魅力；如果仅仅是掌握了竞赛大纲中的知识体系要求的基本理论和方法，光是有较强的逻辑思维能力和计算能力，缺乏对问题进行科学分析的素养，可能就会一直局限于会解一些常规的基本问题，要提高解题能力、在竞赛中勇创佳绩就只能是一句空话。

问题的分析是解决问题的灵魂，授人以鱼不如授人以渔。数学竞赛是一项高等级的学科竞赛，其培训工作极为重要。近年来的教学实践表明，培训不能只是相应理论和方法的简单堆砌和大量典型题的训练过程，还应该把提高学生对问题快速科学地进行分析进而有效地解决问题的能力作为培训的中心和落脚点，相关的各种教学方法的研究必将对此起到很好的促进作用。

参考文献

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[2] 陈兆斗.大学生数学竞赛习题精讲[M].北京：清华大学出版社，2010.

[3] 张建军，胡伟文，沈静.从一题多解看中值定理的应用[J].科技创新导报，2014（1）：95-96.

[4] 段继杨.创造性教学通论[M].长春：吉林人民出版社，1999.endprint