Euler梁弯曲分析的无网格高阶曲率光顺方案

王冰冰+段庆林+李锡夔+张洪武+杨迪雄

摘要：针对Euler梁弯曲问题的无网格法数值求解，提出与挠度近似相一致的高阶曲率光顺方案。采用耦合权函数方法准确施加固定挠度边界条件，并在曲率光顺过程中引入转角边界条件。数值计算结果表明：该方案能精确反映纯弯曲模式和线性弯曲模式；与标准的高斯积分及现有的常曲率光顺方案相比，该高阶曲率光顺方法可显著改善该类问题的数值求解精度。

关键词：Euler梁；曲率光顺；数值积分；无单元伽辽金法；梁单元；耦合形函数；高阶近似

中图分类号：O302 文献标志码：A

0引言

Euler梁是工程上广泛应用的一种结构元件，其弯曲问题的控制方程为四阶微分方程，在对其进行数值求解时，要求近似函数至少有C¹连续性。传统的基于Lagrange插值的有限元法仅具有C⁰连续性，不能直接用于求解Euler梁弯曲问题，通常须采用Hermite插值。近二十余年发展起来的无网格法，其近似函数（形函数）十分光滑，满足高阶连续性的要求，可方便地直接应用于Euler梁的弯曲分析。

由于无网格形函数为非多项式有理函数，需采用较多的区域积分点计算Galerkin法弱形式，严重降低无网格法的计算效率，且计算精度不高。由一般弹性体无网格分析中的应变光顺技术推广而来的曲率光顺方法，在每个背景积分网格内仅采用一个積分点即可精确反映常弯曲模式，既大幅减少积分点个数又显著提高求解精度，成为该类问题的主要数值积分方法，已在薄梁板弯曲、自由振动、色散及屈曲等方面得到广泛应用。然而，DUAN等指出，针对一般弹性体理论提出的应变光顺技术只能精确反映常应变场，不完全适用于高阶无网格法，并进一步通过修正积分点上节点的导数，发展针对高阶近似的一致性积分方法。目前，该类积分方法已在无网格传热、弹性动力学和三维弹塑性等问题中得到应用，表现出高精度、高效率的优点。CHEN等基于变分原理推导适用于高阶近似的积分约束条件，并通过修正检验函数消除积分残差，该方法得到的检验函数一般与试探函数不同，因而得到的刚度阵非对称。WANG等以应变光顺方法为基础，采用三角形嵌套子域积分，通过积分误差估计，合理地组合刚度阵，同样得到具有二阶精度的积分方法。

目前，针对一般弹性体的无网格分析已发展出若干种适用于高阶近似的积分方法。然而，现有的由应变光顺技术推广而来的曲率光顺方法仅能精确反映常弯曲模式，仍然只是常曲率光顺方案，不能精确再现与高阶（二阶以上）无网格近似相一致的具有高阶曲率的弯曲模式。本文针对Euler梁弯曲问题，采用三阶无网格近似，发展出与其相一致的高阶曲率光顺方案，并考察其计算精度、收敛性等数值特性。

1控制方程及数值离散

在Ω=[0，L]（L为梁的长度）时，Euler梁弯曲问题的控制方程为endprint