RRR及RRC机械臂运动学建模与分析

李昀播

摘 要： 运动学分析对于机械臂在实际工业应用中具有重要意义。本文针对平面RRR型机械臂、空间RRR、RRC机械臂这3种典型的工业机械臂进行了正运动学分析。首先建立坐标系，得到各坐标系之间的变换矩阵，即可得到机械臂末端位置与机械臂驱动关节之间的关系。机械臂末端执行器在末端坐标系中的坐标可根据得到的变换矩阵转换为在基坐标系下的坐标。最终通过机械臂的特殊位置，验证了正运动学建模分析的正确性。

关键词： 机械臂；齐次坐标；坐标变换；正运动学

中图分类号： TN98 文献标志码：A

0 引言

近年来，机器人得到了飞速的发展，成为当下的研究热点，工业机器人由于其很强的实用性得到了广泛的关注。国外出现了瑞士ABB、德国KUKA等代表性的公司；国内工业机器人起步较晚，因此国家推出了支持工业机器人发展的相关政策，将在很大程度上促进我国工业机器人的发展。

对于工业机器人，运动学分析具有重要的意义。通过运动学分析，能够得到机器人各关节位移与机器人末端位移之间的关系，对于控制机器人运动以指定状态运动到指定位置具有重要意义。本文主要针对工业机器人中常见的RRR及RRC机械臂进行运动学建模与分析，并通过机械臂的特殊位形，采用图解法验证运动学分析的正确性。

1 RRR机械臂正运动学建模

1.1 平面RRR机械臂

典型的平面RRR机械臂如图1（a）所示，其由3个连杆组成，连杆之间通过转动关节相连，且3个关节转动轴线相互平行。

建立如图1所示的坐标系。其中oxy为基坐标系，与基座固定相连；坐标系o1x1y1为随长度为d1的连杆一起转动的坐标系，其中x1的方向始终与杆重合，o1与o点重合，该转动关节转角记为θ1；坐标系o2x2 y2为随长度为d2的连杆一起转动的坐标系，其中x2的方向始终与杆重合，该转动关节转角记为θ2；坐标系o3x3y3为随末端执行器一起转动的坐标系，其中x3的方向始终与杆重合，该转动关节转角记为θ3；机械臂末端执行器末端点记为P。初始状态时，各坐标系的x轴均与基坐标系的x轴重合。

由此即得到了机械臂末端执行器末端点P的位置与机械臂各驱动关节转角θ1、θ2、θ3之间的关系。

当机械臂具有如图1（b）所示的特殊位形时，末端点P的坐标可通过图解法解出。在这种位形下，θ1=90°，θ2=-90°，θ3=-90°。设定机械臂参数为：d1=15，d2=20，末端点P与o3的距离为5。通过图解法得到P点在基坐标系下的坐标为（20，10，0）T。同样，通过上述齐次坐标变换矩阵也可求得末端点P的齐次坐标为（20，10，0，1）T，与图解法所得结果一致，验证了坐标齐次变换的正确性。

1.2 空间RRR机械臂

如图2（a）所示的空间RRR机械臂也由3个连杆组成，连杆之间通过转动关节相连，转动关节1与转动关节2轴线垂直，转动关节2与转动关节3垂直，该机械臂自由度为3。

建立如图所示的坐标系，坐标系建立方式与上一节一样，不再赘述。o1相对o点沿z轴偏移距离为a0，第一个关节转角记为θ1；o2沿y1轴方向偏移距离为d2，第二个关节转角记为θ2；第三个关节转角记为θ3；机械臂末端执行器末端点记为P。初始状态时，z3的方向与z1的方向平行。

由此即得到了机械臂末端执行器末端點P的位置与机械臂各驱动关节转角θ1、θ2、θ3之间的关系。

当机械臂具有如图2（b）所示的特殊位形时，末端点P的坐标可通过图解法解出。在这种位形下，θ1=-90°，θ2=-90°，θ3=90°。设定机械臂参数为：a0=10；d2=30； a1=20，末端点P与o3的距离为5。通过图解法得到P点在基坐标系下的坐标为（30，20，5）T。同样，通过上述齐次坐标变换矩阵也可求得末端点P的齐次坐标为（30，20，5，1）T，与图解法所得结果一致，验证了坐标齐次变换的正确性。

2 RRC机械臂正运动学建模

如图3（a）所示为空间RRC机械臂，其由3个杆件与3个运动副连接。前两个运动副为转动副且轴线平行，第3个为圆柱副，该机械臂自由度为4。

建立如图所示的坐标系，坐标系建立方式与上一节一样，不再赘述。o1相对o点沿z轴偏移距离为10，第一个转动关节转角记为θ1；第二个转动关节转角记为θ2；第三个转动关节转角记为θ3； o4相对o3点沿z3轴偏移距离为l3；机械臂末端执行器末端点记为P。初始状态时，各坐标系的y轴均与基坐标系的y轴平行。

当机械臂具有如图3（b）所示的特殊位形时，末端点P的坐标可通过图解法解出。在这种位形下，θ1=-90°，θ2=90°，θ3=-90°，l3=10。设定机械臂参数为：l0=10，l1=15，l2=20，末端点P与o4的距离为5。通过图解法得到P点在基坐标系下的坐标为（20， 20， 0）T。同样，通过上述齐次坐标变换矩阵也可求得末端点P的齐次坐标为（20， 20， 0， 1）T，与图解法所得结果一致，验证了坐标齐次变换的正确性。

结论

机械臂末端位置由各驱动关节位移决定，根据关节位移得到末端位置，对于机械臂进行实际作业具有重要意义。本文对平面RRR型机械臂、空间RRR和RRC机械臂，这3种典型的机械臂进行了运动学建模与分析。

（1）得到末端执行器位置与关节角度之间的关系，对于控制机械臂到达指定位置进行操作具有重要意义。

（2）文中采用的数学建模方法对于其他类型的机械臂也同样适用，对于分析其他机械臂具有重要指导意义。

（3）通过运动学分析得到的位置之间的关系，对于后续分析末端执行器速度与加速度打下了坚实的基础。

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