浅析豪斯道夫维数

盛铁军+冯莉莉��

摘 要：在众多的分形维数当中，豪斯道夫维数是最基本、最重要、应用最广泛的一种，在处理测度的概念的基础上相比较而言更为容易，它在任何的集合上都是有定义的，但是在许多的情况下无法计算或者估算维数的值。本文先从豪斯道夫维数的定义入手进行简单的分析，再对它的性质进行了解，引用三分康托集来计算豪斯道夫维数。

关键词：豪斯道夫维数；豪斯道夫测度；三分康托集

一、 豪斯道夫维数的定义

设t>s，且{Ui}是F的δ-覆盖，当对每一i都有0<|Ui|≤δ，有∑i|Ui|t=

∑i|Ui|t-s|Ui|s≤δt-s∑i|Ui|s，又同时取inf

∑

SymboleB@ i|Ui|t≤δt-sinf∑

SymboleB@ i|Ui|s，故h-tδ（F）≤δt-sh-sδF。

当δ→0时，对于t>s，如果h-s（F）<

SymboleB@ ，那么h-t（F）=0。

定义：使得h-s（F）从

SymboleB@ 跳跃到0的临界点s的值就称为F的豪斯道夫维数，记dimHF，即dimHF=infs：h-s（F）=0=sups：h-s（F）=

SymboleB@

或者h-s（F）=

SymboleB@ ，若sdimHF。

注：如果s=dimHF，那么h-s（F）可以是零或者無穷或者满足0

二、 豪斯道夫维数的性质

1. 开集：如果FRn是开集，由于F中含有一个正n维体积的球，因此dimHF=n。

2. 可数集：如果F为可数的，故dimHF=0.其中，若Fi是一单点，则h-0（Fi）=1，dimHF=0，由数学中的可数稳定性质，dimH∪ SymboleB@ i=1Fi=0。

3. 光滑集：如果F是Rn中的光滑的m维流形，那么dimHF=m。

4. 单调性：如果EF，那么dimHE≤dimHF。

5. 可数稳定性：如果F1，F2，…为一个可数的集序列，那么dimH∪ SymboleB@ i=1Fi=sup1≤i< SymboleB@ {dimHFi}。由单调性可知，对于每一个j，必然有dimH∪ SymboleB@ i=1Fi≥

dimHFj.另外，如果s>dimHFi，则对任何的i，h-sFi=0，因此，h-s∪

SymboleB@ i=1F=0，随之给出反向不等式。

6. 变换性：由豪斯道夫维数测度的相关性质可得到。

7. 不变量性：在李卜希兹变换下，豪斯道夫维数是不变量。

三、 豪斯道夫维数的计算

例题：设F为三分康托集，如果s=log2/log3=0.6309…，那么dimHF=s。

证明：将康托集F分成左右两个部分，分别为FL=F∩0，13和FR=F∩23，1，从中可以发现，FL和FR都和F几何的相似，从而有F=13FL和F=13FR（近似相等，误差忽略不计），但FL∩FR=（也就是F=FL∪FR是不交并），因此，对于所有的s，由豪斯道夫测度的比例性质h-sλF=λsh-s（F），能得到

h-s（F）=h-s（FL）+h-s（FR）=

h-s13F+h-s13F=13sh-sF+13sh-sF=213sh-sF

假设在临界值s=dimHF时，有0

SymboleB@ （可能合理的假设），将上式两端同时除以h-sF，得到1=213s，两端同时取对数有s=log2/log3。所以dimHF=s。

参考文献：

[1]肯尼思·法尔科内.分形几何[M].沈阳：东北大学出版社，2001：45-50.

作者简介：盛铁军，冯莉莉，吉林省长春市吉林师范大学数学学院。