由江苏省中职对口高考数列试题例谈数列求和方法

摘要：上世纪90年代中期，随着国家经济政策的调整，适应社会对人才的需求，同时也为扶持中等职业学校的发展，满足职专学生升学深造的愿望，国家教育部出台了“对口高考”政策。对口高考是国家从高校招生计划中选择部分专业，拿出专门指标，对希望继续深造的中等职业学校学生进行对口专业的考试，为优秀的中等职业类学生提供上大学深造的机会，对口高考的学生大学毕业后和同年通过普通高考进入大学深造的学生享受同等待遇。对口高考科目有语文、数学、英语和相应专业理论基础和实践技能。与普通高考相比，对口高考具有考试难度小，门槛低，参加考试人数少，升学录取率高等优点。而对口高考科目中，数学的重要性对参考学生来说尤为重要，试卷中数列和平面解析几何的综合题又往往被作为压轴题，决定着学生能否在对口高考中胜出。

关键词：例谈；对口单招；数列求和；方法

在数列知识的学习过程中，数列求和问题是最基本的一项内容。由于数列求和问题较多，技巧性也非常强，从而导致数列求和成为中职生参加对口高考的难点知识。本文通过江苏省对口高考新高考（2014年实施）对数列求和的要求，介绍具体的解题方法和技巧，有利于帮助中职生更好地理解数列求和的知识点，提升中职生解决对口高考数学考试中数列求和问题的能力。

一、 利用公式求和法

这类试题往往是比较单一的等差数列或等比数列，直接利用等差数列或等比数列的前n项和公式，代入相应的数据，求得最后的结果，这种方法往往结合函数应用题进行考查。

如2015年江苏省对口高考数学试卷第21题：

某职校毕业生小李一次性支出72万元购厂创业，同年另需投入其他经费18万元，以后每年比上一年多投入4万元。假设每年的销售收入都是50万元，用f（n）表示前n年的纯利润（注：f（n）=（前n年的总收入）-（前n年的其他经费支出）-（购厂支出））。（1）问：小李最短需要多长时间才能收回成本？（2）若干年后，为转型升级，进行二次创业，现有如下两种处理方案：方案一：年平均利润最大时，以48万元出售该厂；方案二：纯利润总和最大时，以15万元出售该厂。问：采取哪种方案更好？

该题中“前n年的其他经费支出”便是以18为首项，4为公差的等差数列的前n项和，直接利用等差数列的前n项和公式Sn=na1+n（n-1）2d，代入a1=18，d=4得前n年的其他经费支出为2n2+16n。

二、 分组求和法

分组求和法：就是将数列的通项分成两项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和方法分别求和，然后再合并，从而得到该数列的前n项和。

如2014年江苏省对口高考数学试卷第21题：

已知等比数列{an}的前n项和为Sn=A·2n+B，其中A，B是常數，且a1=3。（1）求数列{an}的公比q；（2）求A，B的值及数列{an}的通项公式；（3）求数列{Sn}的前n项和Tn。

该题在第（2）问中得到Sn=3·2n-3，n∈N+，因为数列{Sn}既不是等差数列，也不是等比数列，所以它的前n项和Tn=3·2-3+3·22-3+…+3·2n-3。即Tn=3（2+22+23+…+2n）-3+3+3+…3n。然后分别利用等比数列前n项和求2+22+23+…+2n的和，用常数列求和求3+3+3+…+3n的和，再将两和合并即可。

三、 裂项相消求和法

把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法。这种方法往往应用于数列的通项公式呈现以下基本形式时：（1）an=1n（n+1）=1n-1n+1，n∈N+；（2）an=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，n∈N+。

如2015年江苏省对口高考数学试卷第20题：

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足an+1-2Sn=1（n为正整数）。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设cn=12Tn，求数列{cn}的前100项和R100。

该题最终得出数列{cn}的通项公式cn=1n（n+1），n∈N+，求R100时，只要求出数列{cn}的前n项和Rn，然后将n=100代入即可。将cn裂项得cn=1n-1n+1，n∈N+所以Rn=11-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，则R100=100101。

四、 错位相减求和法

这种方法主要是应用于数列的通项表示成一个等差数列和一个等比数列的积的形式。在求这种数列的前n项和时，先在前n项和等式两边同时乘以等比数列的公比后，对应好两个等式中指数幂相等的项，再用其中一个等式减另一个等式整理而得前n项和公式。

如2016年江苏省对口高考数学试卷第23题：

设数列{an}与{bn}，{an}是等差数列，a1=2，且a3+a4+a5=33；b1=1，记{bn}的前n项和为Sn，且满足。（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）若cn=an+13bnSn+1=23Sn+1，求数列{cn}的前n项和Tn。

本考题在第（3）问中可得出数列{cn}的通项公式cn=n·32n-1，n∈N+。将数列{cn}的通项公式看成是等差数列{n}和等比数列32n-1相乘而得，因此在数列{cn}前n项和Tn=1·320+2·32+3·322+…+n·32n-1……①的两边同时乘以等比数列32n-1的公比32得：

32Tn=1·32+2·322+…+n-1·32n-1+n·32n……②。用①-②得：

-12Tn=320+32+322+…+32n-1-n·32n……③。

而320+32+322+…+32n-1是等比数列32n-1的前n项和，利用等比数列前n项和公式Sn=a11-qn1-q将a1=1，q=32代入公式得：

320+32+322+…+32n-1=2·32n-1。代入③整理得：

Tn=（2-n）·32n-2。

数列是中职数学的重要内容，又是将来升入高校学习高等数学的基础。在对口高考中都占有重要的地位。数列求和是对口高考对数列知识考查的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的方法和技巧。以上是江苏省对口高考新高考数学考试中数列综合题应用的四种求和方法，中职生只有真正掌握了解决中职数学数列的求和解题方法和技巧，才能提高解题效率，在将来的对口高考中遇到同类型的求和问题能够轻松准确的解答出来。

作者简介：

丁恩安，江苏省高邮市菱塘民族中等专业学校。endprint