关于正线性映射的逆向Ando′s不等式的研究

宋 园

（滁州职业技术学院 基础部，安徽 滁州 239000）

0 引言

2011年，SEO在文献［3］中给出了逆向Ando′s不等式：若0＜m1≤A≤M1，0＜m2≤B≤M2且α∈[0,1]，则对于正线性映射Φ，有

对于正算子A,B，当0≤p≤1时，有

而当p＞1时，式（2）不一定成立。

本文将研究正线性映射的逆向Ando′s不等式，得到了式（1）p次幂的形式，其中p＞1。

1 引理

为了得到本文结果，需要如下引理：

引理1［5］设A,B＞0 ，则

引理2［6］设A＞0，则对于单位正线性映射Φ，有

引理3［7］设A,B＞0，1≤r＜∞ ，则

2 主要结果

定理1若0＜m1≤A≤M1，0＜m2≤B≤M2，且α∈[0,1]，则对于单位正线性映射Φ，有

证明式（3）等价于

由于0＜m1≤A≤M1，所以

从而

同理可得

由引理1、引理2、式（4）和式（5）可得

即

从而式（3）成立。

证毕。

定理2若 0＜m1≤A≤M1，0＜m2≤B≤M2，α∈[0,1]，则对于单位正线性映射Φ，当1＜p＜2时，有

当p＞2时，有

证明当1＜p＜2时，由式（2）和定理1可知式（6）成立。

当p＞2时，式（7）等价于

由引理1、引理3和定理1可得

即

从而式（7）成立。

证毕。

（References）

［1］ANDO T.Concavity of certain maps on positive definite matrices and applications to Hadamard products［J］.Linear Algebra&Its Applications，1979，26：203-241.

［2］KUBO F，ANDO T.Means of positive linear operators［J］.Mathematische Annalen，1980，246（3）：205-224.

［3］SEO Y.Reverses of Ando′s inequality for positive linear maps［J］.Mathematical Inequalities&Applications，2011，14（4）：116.

［4］PECARIC J E，古田孝之，HOT J M，et al.Mond-pe ari methodin operator inequalities［J］.Lotta Control La Tubercolosi，2005，31：461-464.

［5］BHATIA R，KITTANEH F.Notes on matrix arithmetic-geometric mean inequalities［J］.Linear Algebra&Its Applications，2000，308（1/2/3）：203-211.

［6］BHATIA R.Positive definite matrices［M］.Princeton：Princeton University Press，2015.

［7］ANDO T，ZHAN X.Norm inequalities related to operator monotone functions［J］.Mathematische Annalen，1999，315（4）：771-780.