巧用偏导数求解不定方程

顾玲凤��

摘要：从古时候开始，在数论中，不定方程就是一个古老而普及的分支。早在3世纪，丢番图就开始研究不定方程，后来人们为了纪念丢番图，常常将不定方程称之为丢番图方程。不定方程是数论中相当重要的组成部分，定义为方程中的未知数的个数多于方程的个数。针对不定方程的特点，本文指出两种求解不定方程的方法，通过分别比较和验证，得出使用偏导数求解的方法更优于使用根判别式求解不定方程，更加准确可靠。

关键词：不定方程；根判别式；偏导数

一、 不定方程

不定方程，指的是方程的个数少于未知数的个数，并且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

1969年，L. J. Mordel的专著《丢番图方程》，对前人有关不定方程的研究进行了较为全面的回顾，并且更加系统化地总结了这方面的研究成果。由于该领域涉及到各行各业的发展，因此近十多年来，这方面的研究受到众多数学爱好者与专家学者的高度关注，使得该领域获得了飞速的发展。虽然如此，但是从整体来考虑还是存在部分需要加强的地方，比如说对于高于二次的多元不定方程（组），人们其实知道得不多。另一方面，不定方程与数学很多领域都有紧密的联系，例如组合数学、微分几何等，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。常见的不定方程分为线性不定方程（组）和高次不定方程（组）。其中，最普及的为二元一次不定方程。在此以二元一次不定方程为例来举例讲述这个方面。

ax+by=c（1）

式（1）中a，b，c是给定的整数，且ab≠0。（1）有整数解的充要条件是a、b的最大公约数能够整除n。因此假设x1、y1为该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解可以表示为x=x1+a（a，b）*t，y=y1-a（a，b）*t。其中t为任意整数。

二、 偏导数

一个n元函数z=f（x1，x2，…，xn）对它的某个变元xk作为唯一自变量（固定其余变元）而言的变化率（导数），称为该函数关于变元xk的偏导数。给定一个二元函数z=f（x，y）。若函数z=f（x，y）在（x0，y0）的两个偏导数fx（x0，y0）与fy（x0，y0）都存在时，称f（x，y）在（x0，y0）处可导。如果函数f（x，y））在函数域D的每一点均可导，那么称函数f（x，y）在域D可导。

偏导数的记号有很多种，如：f′x，fx，fx，dfdx等。例如二元函数

z=f（x，y）=x2+y2+xy（2）

那么有：

zx=2x+y，zy=2y+x，zx（1，1）=3，zy（1，1）=3。函数z=f（x，y）的图像如下：

一般的，一个多元函数的所有一阶偏导数构成的向量称为函数的梯度，即

SymbolQC@ f（a1，a2，…，an）=（f1（a），f2（a），…，fn（a））T，其中fi（a）=fxi（a1，a2，…，an）对所有i=1，2，…，n。

梯度函数反映了多元函数函数值随着自变量变化的快慢。例如，利用梯度函数为零的条件，我们可以求出二元函数值下降最快的方向，称为最速下降速度。在这里我们只学习函数f（x，y）沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f（x，y）的变化率。

一个n元函数在各个偏导数存在的情况下，可以通过以下形式来表示：

fxk（a1，…，ak-1，ak，ak+1，…，an）=limh->0f（a1，…，ak+h…，an）-f（a1，…，ak…，an）h

它可以表述为函数值关于第k个变量的单位变化率。如果此极限存在，则称此极限为该函数函数在点（x0，y0）处对x的偏导数。

三、 不定方程样例求解思路分析比较

在同一个样例的基础上，通过采用两种方法进行比较验证，从而更加有针对性。

1. 不定方程样例

样例：若实数y，x满足y=4y-x+2x，则y的最大值是多少。

2. 使用根判别式求解

不定方程最常用的方法就是根判别式方法求解，通过两边平方进行函数的化简，从而简化成类似于二元一次方程的类型，再通过根判别式的公式求解函数的根，接着通过x，y的限制条件，从而得到最终想要的y的极值。这种方法是最常用且普遍的惯性思维，接下来我们就以给出的样例进行分析、推导。

（1） 样例分析

由于函数隐含的两个条件分别为y？=14x且x？=0；而为了求得y的最大值，这两个条件是远远不够的，顶多给出的条件只能尝试着求y的最小值，而跟最大值是沒有任何关系的。继续分析函数本身，通过尝试着进行两边同时开方进行函数化简，再用根判别式进行求导归纳。具体解题过程见下一步。

（2） 解题过程

解：经过上述分析，由原式得到：y-2x=4y-x

两边同时平方可以得到：y2-4x+1*y+5x=0

将x看成是常数，这样的方程就可以看成是一元二次函数，这样可以通过求根公式得到不同情况下的x值的大小。

当？=0时，x=36±165，此事求出的y值是两个固定的值

当？>0时，由于x>0，所以x范围为0

当？<0时，方程没有实数根

通过以上验证，只能求出x在不同情况下的取值范围，然而却不能算出y的最大值。因此得出根判别式求解方式在此不定方程中是不适用的、不具有普遍性。

3. 使用偏导数求解

考虑到通过根判别式方法求解不定方程的局限性，本文采用了一种比较新颖的偏导数求解算法来解决不规则曲面函数不定方程的问题。

（1） 样例分析

以二元函数z=f（x，y）为例，如果只有自变量x变化，而自变量y看成是常量，则为x的一元函数，这样的函数称为偏导数，从而简化问题的复杂度，更适合这种不规则的不定方程求解。

（2） 解题过程

解：令Fy，x=y-4y-x-2x=0，这里假定y是x的函数

求偏导分别得出：Fx=--124y-x-1x

Fy=1-424y-x

通过使用隐函数存在定理2，可将公式化简为：

y′=-FxFy=x-24y-x24y-x-4*x

令y′=0可以得到x=24y-x公式化简得到y=516*x，并将该公式定义为公式（1）

即当y=516*x时取最大值，将公式（1）带入原方程可得：

516*x=4*516*x-x+2x

算出x=64，将x值带入公式（1）得出

y=20

四、 总结归纳

根判别式求解不定方程会随着不定方程的复杂程度而出现结果上的偏差，相对于根判别式，使用偏导数求解不定方程则效果显著，更具有普遍性和通用性。

作者简介：

顾玲凤，江苏省苏州市吴中区城西中学。