导数在物理中的应用刍议

摘 要：应用数学处理物理问题的能力是学习物理的一种基本能力，而在可以利用的数学知识中，导数无疑是最值得关注和重视的一个点。物理中求感应电动势，求瞬时速度、加速度以及求极值等都与导数联系密切，体现了数学学科的工具性和实用性。

关键词：导数；物理；应用

一、 利用导数求感应电动势

例1 如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0.020T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培力。

根据法拉第电磁感应定律和导数的定义可知，磁通量对时间的导数就是感应电动势，所以回路中的感应电动势为

二、 利用导数求瞬时速度、加速度

我们知道，瞬时速度就是位移s对时间t的导数。一般的问题，没有必要应用导数求瞬时速度，但复杂一点的问题，写出位移的函数式后再求导来求得瞬时速度，会非常方便简捷。

例2 一质点做直线运动，位移与时间的关系为x=15t+t3（m），求当t=2s时的速度、加速度。

形如x=v0t+12t2位移与时间关系是一元二次方程的，用待定系数法就能确定质点的速度、加速度，但是对于位移与时间的关系是三次方的就无法用待定系数法了，我们用导数很方便地就解决了。

例3 一质点简谐运动的图像如图所示，判断质点在0.7s、1.0s、2.0s、2.2s四个时刻的运动方向。

解析：

我们知道，图像上某点的导数即瞬时速度表示图像在该点的切线的斜率。

根据导数的几何意义，画出各时刻对应的图像上各点的切线，斜率为正则速度方向沿+x，反之为-x，斜率为零则无运动方向。

若根据图像确定质点在该时刻之后的一小段时间内位移的变化（位移的方向、增减），然后确定质点的运动方向。质点在1.0s时刻，学生根据位移的变化判断速度方向可能為-x。事实上，质点在该时刻瞬时速度为零，是没有方向的。这样判断结果与事实不符。

运用导数的意义判断速度方向既方便又避免图像拐点处出现错误，我们要充分利用数学工具解决物理问题，它会使我们解决问题既准确又高效。

三、 利用导数求极值

如果在某一区间内只有一个极值，则该极值即为最值。

例4 如图所示电路中，电阻R为可变电阻，电源的电动势为ε，内电阻为r，求R为多大时，电源的输出功率最大？最大值是多少？

例5 一辆小车在MN轨道上行驶的速度为v1可达50km/h，在轨道外的平地上行驶速度v2可达40km/h，与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地，如图所示，问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多少时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？

解析：如图所示，设DF段的距离为x，则小车走完全程所用时间可表示为

利用导数求极值，首先根据物理知识写出表达式，然后令其导数等于零，该问题便可迎刃而解。

参考文献：

[1]唐复求.导数在高中物理中的应用[J].中学教学参考，2012，（17）：71.

[2]张同权.导数在高中物理解题中的应用[J].物理教学探讨，2004，（10）：58-59.

作者简介：孙晨阳，山东省东营市，山东省广饶县第一中学。endprint