浅谈综合题的常见解法

林玉珍��

摘要：在现在中考中，简单的题目很容易得分，但是为了区分，还会有几道压轴的综合题，很多同学遇到后都不懂如何入手，因而常常考不出理想的分数，所以如何解综合题在中考中尤其重要。

关键词：综合题；旋转；迁移

综合题是初中数学中综合性最强的题型，它既考查了初中数学的主干知识，又考查学生对数学知识的迁移整合能力。综合题常常结合图形的旋转。图形的旋转是初中数学中的一个重要内容，由于旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而保持了许多图形的不变量。例如，下面这一道2015年三明的中考题：

在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°。

（1） 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

接着我们来看几何画板，

1. 题目中总共告诉我们几个条件？

很好，三个。第一个是ABCD是正方形，第二个是∠EAF=∠CEF=45°，第三个是将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG。从这三个条件挖出你需要的，证明这两个三角形全等。

2. 我們知道证明两个三角形全等一般需要三个条件，通过图形分析我们知道已经有哪个条件了（很好，有一条公共边），接下去我们再找另外的条件，这道题关键的条件是旋转，根据旋转我们得到什么，很好，全等，所以旋转前后对应线段相等，所以AF=AG，又因为绕着点A顺时针旋转90°得到的，所以旋转角为90度，所以∠FAG=90度，又因为∠EAF=45，所以∠GAE也等于45°，所以这两个角相等，因而利用边角边得到这两个三角形全等。

（2015三明）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°。

（2） 若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；

看到这个形式你想到了什么？——很好，直角三角形。可是通过看图我们发现这三条线段并没有在同一个三角形中。那接下去要怎么做呢？——很好，把这三条线段移到同一个三角形中。那要怎么移呢？这就是综合题考查大家数学知识的迁移能力。

接下来我们来分析条件，条件只有大前提的两个：一个是ABCD是正方形，另一个是∠EAF=∠CEF=45°。最后要证明EF2=ME2+NF2，跟第一小题比没有增加什么实质性的条件。根据第一小题我们知道：将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，此时△AEG≌△AEF，从而有EF=EG。这时候要证明的这三条线段已经有两条在同一个三角形中了，接下去连接GM，看看另一条会不会也等于GM，而且这又是一个直角三角形。接下去我们根据题目给我们的条件ABCD是正方形和∠EAF=∠CEF=45，我们得到什么？——很好，我们得到∠N=45，为什么，因为正方形，所以AN平行BC，所以∠CEF=∠N=45，所以三角形AMN是等腰直角三角形，所以AM=AN。又因为将△ADF旋转得到△ABG，所以AF=AG，∠DAF=∠BAG，所以△AGM≌△AFN，所以GM=FN，所以要证的这三条线已经移到同一个三角形了，接下去证明直角。因为∠DMA=∠N=45，又因为∠AME=45，所以∠GME=90，所以三角形GEM是直角三角形，从而得证。

（3） 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由。

其余的条件不变是指什么条件，很好，∠EAF=∠CEF=45°，所以总共有两个条件，一个是矩形，另外一个是这两个角相等。最后要问这三条线段的数量关系。

其实第二小题我们在正方形中得出了三条线段的数量关系，但不是这三条。那么我们可不可以参考第二小题的证明思路，先证明第二小题中的这三条线段是不是在矩形中有类似第二小题的数量关系。所以我们要参考第二小题，将直线EF与AB，AD的延长线也分别交于点M，N。

类似第二小题我们知道△AMN是一个等腰直角三角形，所以我们得到AM=AN，又根据我们前两小题的解题思路，我们会将△ANF绕着A点顺时针旋转90度，得到△AMG，参考第二幅图，连接GE，利用边角边证明△AGE≌△AFE。所以EF=EG。类似第二小题，得到△GME是直角三角形，所以EG2=GM2+ME2。但是题目不是要证这三条的数量关系，而是EF，BE，DF之间的数量关系，通过分析我们知道，GM=NF，且NF=2DF，所以GM=2DF，同理：ME=2BE。又因为EG2=GM2+ME2所以EG2=（2DF）2+（2BE）2，即EF2=2DF2+2BE2

在解综合题时着重考查学生的分析推理、归纳总结、迁移整合能力。学生要善于分析总结题目给的方法或者前面第一小步的解题方法，尽量将这种思路迁移到后面各个小题的解题中去。

作者简介：

林玉珍，福建省漳州市第三中学。endprint