丢番图方程x2+11=y3

摘 要：对于某些整数d，若Q（d）是Euclid域，则在对应的Euclid整环中算术基本定理成立。利用此来证明不定方程x2+11=y3的整数解仅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

关键词：丢番图方程；整数解；唯一分解整环

对于不定方程：

x2+C=yn

已经有很多作者做過研究，其中在C=1，4时，在潘承洞、潘承彪《代数数论》一书中证明该方程的整数解分别是（x，y）=（0，1），

（x，y）=（±2，2），（±11，5）。在C=16时，2006年廖江东证明了该式无整数解。当C=4n（x≡1（mod2））时黄勇庆证明了该不定方程式的整数解仅有（x，y，n）=（±11，5，1）。

对于该方程的另一种情况，在C=16时关于不定方程x2+11=y3已经有过一定研究工作，前作者证明该方程只有整数解（±58，15），其证明的结论是不全面的。本文中作者结合Euclid整环的相关性质，对该方程的整数解问题重新作出证明，并对结论加以修订。

定义1 Euclid整环：设M是整环，如果存在一个M的全体非零元素到自然数的集合的函数 ，使得对任意的 ，一定有 ，满足 ，这里 或 且有 ，那么M就称为M的Euclid整环。

定义2 Euclid域：Euclid整环对应的分式域叫做Euclid域。

定义3 唯一分解整环：设D是因子分解整环，若任意的非零非单位α∈D，都可以唯一的表示为D中不可约元素的乘积，则D为唯一分解整环。

定理1 对于Euclid整环，其自身是一个主理想整环，从而必定是一个唯一分解整环。

定理2 假设M满足唯一分解整环的性质，从而对于正整数k≥2，以及α，β∈M，（α，β）=1，必有：当αβ=γk，γ∈M时，必有：

α=ε1?k，β=ε2νk，?，ν∈M

并且其中ε1，ε2两个元素是M中的单位元素，而且ε1ε2=εk，ε也为M的单位元素。

定理3 在虚二次域 当中，是Euclid域的只有以下五种情况：分别是d=-1，-2，-3，-7，-11.

证明：不定方程

x，y∈Z（1）

的整数解仅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

证明：由于二次域 为Euclid域，且仅有单位数±1，其中

是一组整基。从而整环 中的整数形如 的形

式，且 ，即a，b同奇同偶，其中a，b∈Z。

由（1）式得

x，y∈Z

令 ，由于 ，由整除性质知： 。

若 从而： 为整环 中的整数，从而 ，

，所以 。从而（1）式左边： 与右边 矛盾。

若 从而：在 中 是素数，从而 或 。若 ，则由 ，显然 ，两边取范数得： 。从而 并且由（1）式知 ，从而 由（1）式知 ，矛盾。从而 ，由引理知

a，b∈Z

上式整理得

比较等式系数可得：

由第二式知：b=±1，±2，±22，±23

若b=1，由二式得： ，由于a∈Z，不可能

若b=?1，由二式得：a=±1，从而 。

若b=2，由二式得：a=±4，从而 。

若b=?2，由二式得： ，由于a∈Z，不可能

若b=±22，±23，由于a，b同奇同偶，从而由二式知：

左边 右边 矛盾

综上可知不定方程 的整数解仅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

参考文献

[1]潘承洞，潘承彪.代数数论[M].山东：山东大学出版社.2003.

[2]冯克勤.代数数论[M].北京：科学出版社，2000.

[3]廖江东，柳杨.关于不定方程 [J].四川理工学院学报（自然科学版），2007（2）：4-5.

[4]黄勇庆.关于不定方程 [J].四川理工学院学报

[5]高丽，赵彩红，赵喜燕.关于不定方程 [J].延安大学学报（自然科学版），2014（1）：7-8

作者简介

王振（1984-），男，山东临沂人，讲师，硕士，从事基础数学研究。