概率论在生活中的应用

吴欣洲

摘 要：本文在以事件发生的不确定性为引子，介绍了日常生活中遇到的概率问题，用数学中的概率论的相关知识验证了“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”这种说法是基本成立的。同时，针对保险，采用伯努利试验理论和二项分布相关知识，验证了“保险公司盈利”是必然的，以及保险公司获得某一利润的概率。最后，把数学期望和方差运用于“投资理财决策”，对几种投资的收益和风险进行了分析。

关键词：概率 伯努利试验 二项分布 中心极限定理

中图分类号：O211.9 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（a）-0249-02

数学是一门基础理论，有着严密的理论体系。概率论作为数学理论体系的一个重要组成部分，与人们的生产有着千丝万缕的联系[1]。

根据现象是否发生，可以把现象分成两大类：一类是确定性现象，如“早晨，太阳必然从东方升起”；一类是不确定现象，即随机现象，如“明天是否降雨”。这些现象可能出现也可能不出现，它们出现的概率或大或小。下面，针对这种具有不确定性的现象，本文将对生活中的几个具体例子进行分析和讨论。

1 三个臭皮匠，顶个诸葛亮

我们常说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”。我们多用这句话来表达人多力量大、众志成城的意思。这句话到底有没有道理，对不对呢？我们用概率论来论证一下。

假设以诸葛亮的智商，解出问题的概率为0.8。臭皮匠的智商低，臭皮匠A解出问题的概率为0.5，臭皮匠B解出問题的概率为0.48，臭皮匠C解出问题的概率为0.45。那么，三个臭皮匠解出问题的概率为有多大呢？我们可以这样来分析：如果一件事情出现的概率为P，则该事件不出现的概率必定为1-P，这样三个臭皮匠都解不出问题的概率为[1-P（A）]×[1-P（B）]×[1-PC）]，把全部可能1，减去三个臭皮匠都不能解出问题的概率，即为三个臭皮匠至少一个人解出问题的概率为：

P（A+B+C）=1-[1-P（A）]×[1-P（B）]×[1-PC）]=1-0.5×0.52

×0.55=0.857>0.8

这三个才能平庸的臭皮匠中至少有一个人解出问题的概率超过了0.8。三个臭皮匠解决问题的能力超过了神机妙算的诸葛亮。

通过以上我们的论证，论题“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”基本成立。为什么是基本成立呢？假如诸葛亮的智商是远远大于臭皮匠，或者有些问题太难了，诸葛亮还可能解决，而臭皮匠解决的可能性比较小，那结果可能就不一样了。例如诸葛亮解出问题的概率为0.7，三个臭皮匠解出问题的概率都只有0.3，我们再次按照上面的公式进行解答，三个臭皮匠中至少一个人解出问题的概率为：

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（A

BC）=0.639<0.7

三个臭皮匠的能力就有点捉襟见肘啦。要想靠臭皮匠来解决问题，那么只有增加人数，才能超过诸葛亮。

2 保险盈利分析

生活中，我们经常会考虑买保险的事情[2]。假如有2500个人购买了寿险，年死亡概率为0.001，每人每年的保险费为12元，身故保险金为2000元/人，那么，保险公司在一年里获利不少于10000元的概率有多大呢？会不会亏本呢？

可以设一年中死亡的人数为X，把2500人在一年里是否死亡看成2500重伯努利试验。ξ表示死亡发生的人数，对于每一个人，如果死亡概率为p=0.001，则不死亡的概率 q=1-0.001=0.999，ξ就服从参数p的二项分布，其中p称为成功概率。

二项分布的数学期望：E=np=2500×0.001=2.5。

二项分布的方差：D=np（1-p）=2500×0.001×0.999=2.4975。

（1）保险公司在一年里获利不少于10000元的概率。

按照以上假设，保险公司年保费收入为2500×12=30000元，赔付为2000X，则根据中心极限定理得。

P（30000-2000X≥100000）=P（0≤X≤2）

（2）保险公司亏本的概率。

P（30000<2000X）=P（X≥15）

保险公司亏本的概率接近于零，这就是保险公司必然盈利的原因。而对于我们投保人来说，每年缴纳12元的保费就可获得一份2000元的保障，也可以接受，这也是一种双赢。

3 投资决策

投资往往存在很多不确定的随机因素，只有正确的、科学的决策才能达到以最低的成本和风险同时获得最大的收益[3]。在这方面，概率论虽不能直接提供决策建议，但是他能提供一些信息，最终帮助我们做出正确的决策。

假如有三个项目可供选择进行投资，其收益受市场的影响，有一定的不确定性，若把市场发展分为优、中、差三种情况，发生概率分别为0.3、0.6和0.1，根据市场调研，不同情况下各种投资的收益率见表1。

那么如何投资更为合理呢？

首先，我们用数学期望的对各项目的投资预期收益进行计算：

E1=12%×0.3+3%×0.6+（-3%）×0.1=5.1%

E2=7%×0.3+4%×0.6+（-1%）×0.1=4.7%

E3=9%×0.3+3%×0.6+（-2）×0.1=4.4%

从以上数据可知，投资项目1我们可能获得的收益最大，项目2次之。但是，高回报一般伴随着高风险，我们用方差来评估各投资项目的风险：（为了计算方便，省略了百分号）

D（A）=（12-5.1）2×0.3+（3-5.1）2×0.6+（-3-5.1）2×0.1=23.49

D（B）=（6-4.7）2×0.3+（4-4.7）2×0.6+（-1-4.7）2×0.1=3.49

D（C）=（9-4.4）2×0.3+（3-4.4）2×0.6+（-2-4.4）2×0.1=11.62

方差越大，说明收益的波动范围越大，风险也越大，所以从方差来看，投资项目1的风险是投资项目2的风险的6倍左右，将收益与风险综合考虑，最好选择项目2进行投资，虽然收益较项目1少0.4%，但是风险却小了很多。

4 结语

有一位哲学家曾经说过：“概率的学习是人生的真正指南”。身边处处可以发现概率论的身影，它已经渗透到我们生活中的点点滴滴。它可以帮助我们分析生活中所面临的问题，指导我们透过事物的表面现象看到其内在的本质，从而能够找到解决问题的关键点，轻松地解决问题。

参考文献

[1] 刘云，王阳.巧用概率模型解决代数问题[J].和田师范专科学校学报，2008（2）：215-216.

[2] 赵静，毛捷，张磊.社会保险缴费率、参保概率与缴费水平——对职工和企业逃避费行为的经验研究[J].经济学，2016，15（1）：341-372.

[3] 王爱玲.概率统计数学模型在投资决策中的应用[J].科技信息，2012（9）：153-154.