巧用反比例函数中的模型解题

摘 要：对于我国中学教学来说，在实际的教学过程中有一个反比例函数的知识点非常重要，是数学教学的基础函数。在实际的各种大型考试中，经常会出现关于反比例函数知识点的考题，这也证明了反比例函数在中学教學中的重要性。在反比例函数公式中，y=kx（k为常数，k≠0），此时过反比例函数的图像上任意一点对x轴或y轴作垂线，并根据三点围成的三角形面积就是12k（此三点分别是垂足、坐标原点和函数图像上一点），这也就是k在反比例函数中所存在的意义。本文重点就对反比例函数中的模型解题进行了分析。

关键词：反比例函数；模型解题；应用

一、 建立模型

在反比例函数图像中，其中的任意一点A，向x轴作垂线，垂足为E，过射线OA上的点B作x轴的垂线，此点B与点A与原点不为同一点，所得到的垂足为D，通过反比例函数公式y=kx（k为常数，k≠0）的图像交于点C，对OC进行连接，假设OAOB=l.

如下图所示：

当B点在OA上时，可以得出三角形OAE与三角形OBD相似，因此可以得出S△OAES△OBD=OAOB2=l2，又因为S△OAE=S△OCD=k2，因此，就可以得出三角形OBD和三角形OBC的面积，分别是①S△OBD=k2l2和②S△OBC=l2-1k2l2。而当B点在OA延长线上时，就可以得出三角形OBD的面积，即k2l2，而三角形OBC的面积为③S△OBC=1-l2k2l2。

本文重点就是对反比例函数中k值进行推广应用，进而建立起新的反比例函数模型。

二、 模型的应用

近几年来，我国中学考试试题中经常会出现关于反比例函数的考题，一般也都是在选择题和填空题中出现，因为其具有难度大、区分度高的特点，想要应用一般的解题方法通常都会比较困难，此时就可以对反比例函数的模型进行应用，并得出相应的答案。下面举例进行分析：

首先，以我国某学校考试题为例，如图所示：

已知矩形OABC的面积为1003，矩形中OB与曲线的交叉点为D点，OB∶OD=5∶3，则k等于多少？

此题为填空题，应用反比例函数模型进行解答的具体方法为：

因为D点位于曲线上，而B点在延长线上，就可以得出l=ODOB，同时也可以得出三角形OAB的面积等于矩形OABC面积的一半，所以，此题的解答就可以直接运用反比例函数模式进行解答，即：

因为OB∶OD=5∶3，就可以得出l=35，因为矩形面积OABC=1003，就可以知道三角形OAB的面积为1003×12=503，根据上述模型的建立可以知道，在反比例函数模型①中可以在此题中进行应用，并得出|k|2×352=503，所以，k=503×1825，因为k值大于0，所以就可以得出k=12。

此题的考试目的主要是为了对矩形的性质、反比例函数性质及图形相似性等知识点进行考查，如果简单的按照常规方法进行解答，就会造成极大的难度，而通过对反比例模型的应用就能够快速有效的得出答案。

其次，以下题为例，如图所示：

已知双曲线y=kxk<0，图中D点位三角形OAB斜边OA的中点，曲线还与AB交于点C，当A点的坐标为（-6，4）时，则三角形AOC面积为多少？（ ）

A. 12 B. 9

C. 6D. 4

在此题中，可以对数值进行求出，等到数值求得之后，就能够运用反比例函数模型③进行求解，进而得出三角形AOC的面积，而三角形AOC的面积就等于三角形AOB与三角形COB的差，此时也就能够对未知数方程进行得出，并通过方程的解得出相应的值，进而完成对三角形AOC面积的求解。具体过程如下：

因为A点的坐标为（-6，4），所以，可以得出OB=6，AB=4，则三角形OAB的面积等于12，其中D点位AB的中点，所以，可以得出l=ODOA=12，则S△AOC=1-142×14k=32k，则S△AOC=S△OAB-S△BOC=12-12|k|，则32k=12-12k，进而可以得出k=6，又因为k<0，所以，k=-6，则S△AOC=32×6=9。

参考文献：

[1]王绍明.反比例函数教学中应注意的几个问题[J].理科教学，2013，11（05）：125-127.

[2]陈华安.中考反比例函数试题考查特点分析[J].现象透视，2014，01：122-125.

[3]王永明.反比例函数定义教学感悟与反思[J].教师观点，2013，07（12）：123-126.

作者简介：

史琦，江苏省常州市新北区实验中学。endprint