善挖教材探究点，每课抛出一探究

林建南

[摘 要] 教师要善于在教材各处所设置的问题中挖掘“言外之意”，通过构思加工衍生成为探究点.挖掘教材所蕴藏的教学资源才是教学研究的精髓之所在，挖掘教材探究点的源泉来自于新课的传授过程中，来自于教材的例题中，来自于教材的练习和习题中，等等.每节课堂作业中抛出一个探究点活动，让探究钻研活跃在学生的课外学习生活中.在践行“每课一探究”教学活动过程中，可以有两个收获，其一是教师能戴上探究的“眼镜”去看教材，其二是学生能站在探究的“平台”上看问题.

[关键词] 善挖；探究点；课堂探究

教师教学的根本依据是教材，吃透教材、善用教材是提高教学品质的主要途径，而挖掘教材所蕴藏的教学资源才是教学研究的精髓之所在. 教材中处处有思考，环环有探究，题题有意图，教师要善于在教材各处所设置的问题中挖掘“言外之意”，通过构思加工衍生成为探究点. 寻找教材蕴含的探究之处，科学编制探究点成为教学的一种艺术.

数学作业的布置也是一门艺术. 大多数教师推行多样化作业和分层性作业，但总觉得这样的作业仍局限于为了让学生巩固所学知识，或者为了让学生灵活综合应用所掌握的数学知识方法.对此类作业形式而言，就促动学生的智力发展方面可能收效微微欠佳，究其原因，或许这类作业缺少了点兴趣之味和探究之味.

让探究钻研活跃在学生的课外学习生活中，这是笔者不断尝试的教育之道.在漫长的教学生涯里，笔者追求深刻理解教材，多维研究教材，全面挖掘教材. 受近几年课改的熏陶，笔者开始实行每备一堂课寻找一个探究点的备课活动，一个探究点或为“微探究点”，或为“趣探究点”，或为“深探究点”，等等. 每节课堂作业中抛出一个探究点活动已成为教学环节中不可或缺的一部分，对这个“作业”学生兴趣盎然，兴致之高难于言表，探究的成果闪烁着智慧之光，经常有意外的收获. 探究点的源泉来自于新课的传授过程中，来自于教材的例题中，来自于教材的练习和习题中，等等.

在人教版必修二立体几何部分的教学中，笔者更是将这一教学活动推向极致，现摘取部分精彩的探究点来佐证自己的教学观.

在教材的知识的形成过程中挖掘探究点

案例1：在知识的剖析过程中，抛出“相似探究点”.

人教版第7页“观察图1.1-11中（1）、（3）两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗”，下面的解析是图1.1-11中（3）物体所示的几何体由一个长方体截去一个三棱锥而得到，如图1.

【探究点】 对一个正方体切一刀，可以得到两个几何体，你能切出哪些“漂亮”的几何体？请画出它们的立体图，说出它们的结构特征. 进而研究“切面”的形状.

案例2：在知识的反思环节中，抛出“关系探究点”.

人教版第26页的思考：比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体=Sh（S为底面积，h为柱体高）；

V锥体=Sh（S为底面积，h为锥体高）；

V台体=（S′++S）h（S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高）.

你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

【探究点】 从柱体、锥体的体积公式的形式上看，发现它们有V柱体=3V锥体，为什么呢？请以三棱柱为例，探究能否将一个任意给定的三棱柱ABC-A′B′C′分解成三个体积相等的三棱锥？若可以，应如何分解？如何证明这三个三棱锥的体积相等？请画出直观图，并写出推理过程.

在教材的例题教学中设置探究点

案例3：在例题的解题方法的推广中，抛出“拓展探究点”.

人教版第59页例3：如图2所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？

【探究点】 如图3所示的一块正方体木料中，点E，F，G分别是所在棱的中点，要经过点E，F，G将木料锯开，在正方体的表面上应怎样画线？

在教材的练习、习题和复习参考题中寻找探究点

案例4：從逆命题的角度出发，抛出“反向探究点” .

人教版第9页习题1.1A组第5题：将图中的平面图形按适当比例放大，分别制作四面体和正方体，并说明平面图形与空间几何体的关系.

【探究点】如图5，将一个正方体ABCD-A1B1C1D1沿着一些棱剪开，并展开成相连的六个正方形的平面图形，研究展开图有几种不同的形状，请画出尽可能多的图形.

案例5：从对比联想的角度出发，抛出“联想探究点”.

人教版第28页练习第2题：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.

【探究点1】 进行接近联想，自然会想到球和正方体之间应该还有其他比较特殊的相对位置关系.

在一个正方体内放置一个球形小气球（假设气球可以自由充气，并且具有“穿透”功能），当向气球充气时，气球不断变大，在变大的过程中，你能发现气球和正方体会出现哪些较为特殊的相对位置呢？例如，气球能否同时与正方体的六个表面“接触”？气球能否和正方体的棱“接触”，能同时和十二条棱“接触”吗？气球能否刚好“经过”8个顶点呢？还有其他的位置吗？当气球在特殊位置时，再探究球心在哪儿？球的半径是多少？

【探究点2】 进行对比联想，容易会想到把“正方体和球的这种关系”迁移到探究“正四面体和球的关系”. 问能否用同样的方法来研究？你又能得出什么结论？

案例6：从归纳推理的角度出发，抛出“归纳探究点”.

案例6.1：人教版第36页复习参考题A组第9题：一个红色的棱长是4 cm的立方体，将其适当分割成棱长为1 cm的小正方体，问：endprint

（1）共得到多少个棱长为1 cm的小正方体？

（2）三面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？

（3）二面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？

（4）一面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？

（5）六个面均没有涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？它们占用多少立方厘米的空间？

【探究点】 一个红色的棱长是a cm的立方体，在它的每个面上切n刀，问共得到多少个小正方体？三面涂色有多少个，表面积之和为多少？二面涂色有多少个，表面积之和为多少？一面涂色有多少个，表面积之和为多少？六个面均没有涂色有多少个，表面积之和为多少？请探究当n=1，2，3，4时的情形，你能发现什么规律？如果要得到六个面均没有涂色的小正方体100个，至少每个面要切几刀？

案例6.2：人教版第52页习题2.1A组第8题：正方体各面所在平面将空间分成几部分？

【探究点】 （1）n（n=1，2，3，4，5，6）个平面将空间分成几部分？当n取每个值时，列出可能的所有情形，指出最多可以分成幾个部分.

（2）n（n=1，2，3…）个平面最多可以将空间分成几个部分？有什么规律？可不可以用一个公式来表示？

案例7：从类比推理的角度出发，抛出“类比探究点”.

案例7.1：人教版第67页练习第2题：过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.

（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的________点.

（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的________心.

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

【探究点】 类比此题的条件要求，你还能设置三棱锥P-ABC满足什么条件，使得垂足O是△ABC的特殊点（如内心、外心、垂心等）？请写出条件并加以证明.

案例7.2：人教版第79页复习参考题B组第2题：如图6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：

（1）B1D⊥平面A1C1B；

（2）B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心（三角形三条中线的交点）.

【探究点一】 类比此题的结论，你能不能深入研究与体对角线B1D有关的其他结论？

①从点、线、面的位置关系的角度出发探索.例如，

方向一：过正方体的顶点还有没有存在平面平行于平面A1C1B，B1D与这两个平面是什么关系？

方向二：B1D与这两个平面的交点G，H在这两个截面三角形的什么位置？点G，H在线段B1D上的什么位置？如何证明？

②从线线角和线面角的角度出发探索. 例如，

方向一：B1D与正方体中共点的三条棱所成的三个线线角有什么关系？

方向二：B1D与正方体中共点的三个表面所成的三个二面角有什么关系？

【探究点二】 类比迁移到研究长方体，你能用上面的方法类似地对长方体的体对角线进行探究吗？对长方体的体对角线不可以成立的结论，你能说明理由吗？对长方体的体对角线可能成立的结论，你又有什么新的发现？请写出结论并严格推理.

在践行“每课一探究”教学活动过程中，笔者有两大收获，其一是教师能戴上探究的“眼镜”去看教材. 教师若善于利用探究的眼光对教材进行全新的审视，那么教师对教材的把握理解定能更深刻、更透彻. 教学时坚持挖掘教材的探究点，能提升教师驾驭教材和运用教材的能力，促动课堂教学有针对性地突出重点、突破难点. 其二是学生能站在探究的“平台”上看问题. 教师每节课留给学生一个探究点，让学生每天进行探究式学习，培养学生探究问题的习惯，挖掘学生的潜能.针对以上七个案例，笔者的学生通过探究后，发现了许多有趣的新问题，得出了众多的新结论，提出了不少的新见地，开拓了大量的新思路.

自从给学生提供了这个探究平台，学生探究的氛围日益高涨，探究的视野渐渐广阔，笔者时常会收到学生的“探究礼物”，这些礼物闪烁着学生的探究之光和发现之光，鼓励笔者将这教学活动进行到底.endprint