平行板电容器中同一直线上电势的定量

肖加栋

一、引言

本文以平行板电容器产生的匀强电场为例，对共线点电势的定量进行了公式推导，并将推导出的公式应用于实例分析中。

二、平行板电容器中同一直线电势定量求解的推导

平行板电容器中的电场为匀强电场，设这一匀强电场的电场强度为E，如图1所示，在电场中有一条直线AB，和电场方向呈θ的夹角，C为直线AB上的一点，过点B和点C分别做垂直于电场方向的垂线BB和CC，那么BB和CC可以看作等势面，那么点A和点C之间的电势差UAC，点C和点B之间的电势差UCB分别如式1和式2所示：

[UAC=UAC'=E×AC'] （1）

[UCB=UC'B'=E×C'B'] （2）

将式1和式2相除，得到式3：

[UACUCB=AC'C'B'=ACCB=λ] （3）

根据电势差的定义，UAC=UA-UC，UCB=UC-UB，分别带入式3，为（UA-UC）/（UC-UB）=λ，变形后可以得到式4：

[UC=UA+λUB1+λ] （4）

式4说明，在平行板电容器产生的匀强电场中，如果任意两点的电势是已知的，那么与这两点在同一直线上的第三个点的电势也可以定量的求出，第三点的电势与这个点在直线上和已知两点的位置有关，即式中的λ，也就是说，匀强电场中同一直线上的电势定量与解析几何中的定比分点有关。

三、平行板电容器中同一直线电势定量求解的实例说明

经过上述推导过程得到了平行板电容器中同一直线电势定量的公式，下面通過实例说明这一公式的具体应用。

图2匀强电场中同一直线上电势定量的实例

如图2所示，在平行板电容器中存在一个匀强电场，电场中有三个点分别有如图所示的3个点A，B和C，这三个点的电势分别为12V，6V和-6V，用UA，UB和UC表示，现在尝试用式4所示的原理求出这个匀强电场的方向。

此例求解的关键步骤在于等势面的确定，利用电场线与等势面垂直，同时由高电势指向低电势的原理就可以求出匀强电场的方向。首先将点A和点C连接来，过B点的等势面必然会与AC相交于一点，设为B，那么UB=UB=6V，将B和A，C两点的关系归结为式5：

[AB'B'C=λ] （5）

应用式4，得到A，B和C点电势的关系，如式6所示：

[UB'=UA+λUC1+λ] （6）

将UA，UB和UC的具体数值带入后可以求出λ=1/2，也就是说点B位于线段AC的三分之一处，靠近A点。连接BB，这条直线相当于是等势面，垂直于BB就是电场线，方向由高电势一侧指向低电势一侧。

从上述实例中可以看出，利用同一直线上电势满足定比分点这一规律可以很方便的定量出匀强电场中共线点的电势。如果式4中的λ=1，此时可以得到式7所示的关系：

[UC=UA+UB2] （7）

式7可以看作定比分点公式中的一个特例，也看以作为一个重要的推论在解题过程中使用，进而使相关类型题求解的速度得到提高。