浅析经典数学的逻辑基础

黄妃智

摘 要：目前，对于经典数学的逻辑基础，很多学者持有不同的意见，主要有两个分支：一部分学者认为经典数学的逻辑基础为一阶逻辑，还有一部分学者认为经典数学的逻辑基础是二阶逻辑。这两种观点之间没有得到统一。经典数学的逻辑基础不仅与一阶逻辑有关，同时也离不开二阶逻辑，一阶逻辑和二阶逻辑作为经典数学的逻辑基础不存在矛盾性。

关键词：经典数学；逻辑基础；一阶逻辑；二阶逻辑

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）06-0173-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.110

目前，经典数学理论的逻辑基础主要有两种争论，一个是一阶逻辑，一个是二阶逻辑。自上个世纪20年代至今一直是逻辑学争论的问题，到现在还没有达成一致。目前，数学基础的任务是在重构数学分支的过程中给出各个数学分支间的关系，描绘出数学的大图景。因此，在这种状况下，数学基础的研究必须涉及二阶逻辑。不论是一阶逻辑还是二阶逻辑的逻辑学家和数学家，都承认经典数学，但是主张一阶逻辑的逻辑学家和数学家认为，经典数学的逻辑基础是一阶逻辑；而主张二阶逻辑的逻辑学家和数学家认为，经典数学的逻辑基础是二阶数学。本文的主要观点为经典数学的逻辑基础以一阶逻辑为主，但是二阶逻辑同样起到一定的作用。

一、相关定义

（一）一阶逻辑

一阶逻辑是一种形式系统（Formal System），即形式符号推理系统，也叫一阶谓词演算、低阶谓词演算（Predicate Calculus）、限量词（Quantifier）理论，也有人称其为“谓词逻辑”，虽然这种说法不够精确。总之，不管怎么说，一阶逻辑就是一种形式推理的逻辑系统，是一种抽象推理的符号工具。

（二）二阶逻辑

在逻辑和数学中，二阶逻辑是一阶逻辑的扩展，一阶逻辑是命题逻辑的扩展。二阶逻辑接着被高阶逻辑和类型论所扩展。一阶逻辑和二阶逻辑都使用了论域（有时叫做“域”或“全集”）的想法。论域是可以在其上量化的个体元素的集合。一阶逻辑只包括取值为论域的个体元素的变量和量词。例如，在一阶句子？坌x（x≠x+1）中，变量x被用来表示一个任意的个体。二阶逻辑扩展了一阶逻辑，通过增加取值在个体的集合上变量和量词。

二、一阶逻辑和二阶关系的不矛盾性

目前已经有很多逻辑学家或者哲学家能够认可一阶逻辑的存在，这是由于一阶逻辑在语义和语法上的一致性，主要表现为一阶逻辑在语法后承和语义后承方面一致性。但是即使如此，一阶逻辑也不能证明完全作为基础数学的逻辑基础。这是由于，如果仅凭一致性和合理性确定逻辑的标准，那么会出现更多的逻辑思想作为经典数学的逻辑基础，显然很多逻辑是不可以作为经典数学的基础的。追溯到数学和逻辑史可以发现，一阶逻辑的出现相对高阶逻辑反而较晚，因此表明，一階逻辑作为经典数学的基础并非是研究者的最初目的。

第一个提出一阶逻辑的完全性观点的逻辑学家是希尔伯特，于1929年提出。次年，哥德尔对一阶逻辑的完全性给出证明。一阶逻辑的提出和证明极大地推动了逻辑学的发展。二阶逻辑和一阶逻辑的存在并没有存在很大反差，相反，一阶逻辑的出现和研究推动了二阶逻辑的发展。因此，学者在对于二阶逻辑的研究过程中，不得不承认一阶逻辑的合理性，同时承认二阶逻辑在某些方面比一阶逻辑更具优越性，例如对数学性质的建模与反映等方面。

本文对当代哲学家支持一阶逻辑的具体观点进行表述。哲学家蒯因认为二阶逻辑在语义方面包含“类”的概念，使逻辑学和数学之间的边界变得模糊不清，但是逻辑学和数学是两个不同的学科分类，应该有明确的界限划分。单从蒯因所持有的观点上来看，看不出数学和逻辑学之间的明显界限。从数学逻辑的角度分析，一阶逻辑的语义学同样包含了数学的概念。因此，数学和逻辑学之间是存在内在联系的，无法清晰的划分开。以一阶逻辑为例，一阶逻辑中包含一阶算数理论，其中包含自然数的函数，函数本身是自变量与因变量的关系，这就导致一阶算数理论涉及个体域上的关系类。蒯因认为这样的说法由于缺少二阶约束而不存在实质性的理论关系。在这个方向考虑，蒯因认为二阶逻辑的根本是集合论，因此在讨论二阶逻辑时不可以带有明显的倾向性，因为集合不是纯粹的固定性数学思维。但是如果是一个完全的整体主义，那么数学和逻辑之间是否存在清楚的界限是没有必要讨论的。蒯因对于二阶逻辑的讨论，承认二阶逻辑的本体论承诺，同时还要保证随着本体承诺增加二阶逻辑的合法性，这是因为一阶逻辑同样包含了对于数集的讨论。

更进一步说，由于逻辑学和数学没有明确的划分，我们可以通过已经得到的数学成果来讨论逻辑学的内容，通过一些公式判断二阶逻辑的评价是否合理。关于二阶逻辑语义的评价和批评存在一定的容许度，这是由于个体域及其子类的确定存在确定的关系。

直到罗素悖论出现时，戴德金和皮阿诺的逻辑思想仍然得以继续发展，二阶逻辑也没有受到影响。直至今日，出现问题的根源是语义的混乱或者语境的使用不恰当。支持二阶逻辑的研究者对于二阶逻辑语义的反对没有一阶逻辑的语义反驳那么强烈，因为在二阶逻辑中包含了集合的概念。我们不得不承认在数学中，直觉同样发挥着一定的作用。在对数学结构的二阶逻辑描述时，可以对子集的直觉上的概念保持固有的看法。

假设持一阶逻辑主张的研究者不是相对主义者，同时还肯定算数结构的唯一概念，那么这名学者就会承认一阶逻辑语言并非适用于任何场所。如果只有一阶逻辑理论的存在，那么在一些模型分析和嵌入问题上很难完成。这时不得不借助二阶逻辑对于嵌入模型的刻画功能进行补充和配合。

三、结语

一阶逻辑主要描述元素的子结构，二阶逻辑增加了集合的概念，即可以通过集合描述任意多的元素。因此，二阶逻辑比一阶逻辑具有更强的表达功能，在分析数学的逻辑基础时，不可以单纯的分析一阶逻辑或者二阶逻辑，二者可以作为不矛盾的存在进行同时分析。

参考文献：

[1] 张贤勇，熊方，莫智文.程度与精度的逻辑差近似算子的性质[J].数学的实践与认识，2011（18）.

[2] 张贤勇，莫智文.精度与程度的逻辑差近似算子及其性质[J].四川师范大学学报（自然科学版），2011（4）.endprint