基于范希尔理论的立体几何教学研究

冯凯

【内容摘要】范希尔理论将学生几何思维水平划分为5个层次，与《课程标准》立体几何内容安排思想相符，对立体几何教学有很高的指导意义。结合范希尔理论及其特点，教师要重视立体几何教学进阶性，不同层次语言符号使用，学习过程中思维水平间过度，确保教学与学习思维水平匹配。

【关键词】范希尔理论 立体几何 课程标准 几何思维水平 教学策略

立体几何高中数学知识中的学生要掌握的重要模块，高考重要考点。范希尔理论对几何思维和几何教学等方面的研究较为深刻，被许多国家作为几何教学的重要理论参考与依据，但我国在实际教学中运用尚且不够广泛深入，所以值得我们加以关注，并结合实际运用，以提高几何教学效率与效果。

一、范希爾理论

荷兰学者范希尔夫妇通过教授高中课程实践，探索教学规律，指出学生几何思维的五个水平以及与之对应的五个教学阶段。

首先层次0：视觉是能辨认图形，能运用几何构图元素画图，简单描述几何图形，解决关于形状的几何问题，但不能运用图形特征或要素概括论述图形。层次1：分析是能根据图形组成要素与特征，分析图形特性，比较几何图形，解决几何问题，但无法了解图形定义，解释性质的关联。层次2：非形式化的演绎是能够了解图形以及其性质间的关系，进行非形式化地推论，探索图形的内在属性及其关系，使用定义、公式、性质进行演绎推论，但不能灵活的运用定理进行推论和了解证明的重要性。层次3：形式的演绎是了解证明的重要性，理解证明条件的充分必要性，发现定理间的联系，尝试用演绎方式证明猜测。层次4：严密性是在不同的公理系统下建立对应的定理网络[1]。

教学阶段分别是1：学前咨询，教师通过交流帮助学生理解学习的课题；2：引导定向，认识学习方向，熟悉结构；3：阐明，形成学习的关系系统；4：自由定向，学生自由探索，明确学习对象之间的关系；5：整合，教师对教授的知识做全面的评述，帮助学生形成新的思维领域。

二、范希尔理论在《课程标准》中体现

《课程标准》立体几何内容安排遵循从整体到一般的原则[2]，范希尔理论的次序性同样体现这要求，各层次依次蕴含在其中。认识大量空间图形，主要包括柱、锥、台、球及其简单组合体为层次0；了解柱、锥、台、球的结构特征，学会绘画三视图、直观图，运用于实物视图绘画为层次1；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式为层次2；认识理解点、线、面的位置关系及定义，了解部分公理和定理；证明空间位置关系简单命题为层次3。

三、范希尔理论指导下的立体几何教学策略

立体几何教学内容编排与范希尔理论的思想有异曲同工之妙，将范希尔理论用于指导立体几何教学是有意义的。结合理论的进阶性、语言性、不连续性、不适配性应关注以下几个方面。

1.重视立体几何教学进阶性

学生的几何思维水平的提升是离不开教学活动的帮助的，而且，不存在某种教学方法能使学生的几何思维水平跳过某个层次达到更高的层次。教师切莫想一蹴而就使学生由上一个水平进入下一个水平。如在认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征前，不能省去利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形这一步骤。正是有了这一步骤的铺垫，学生更容易自主的去发现不同几何体的不同特征，虽然模糊不明确、零散不系统，但接下来教师的引导、归纳、总结就显水到渠成，不那么突兀。学生轻松顺利地从层次0进入层次1，而不是疲于应对地跳过层次0直接进入层次1。前者是学生作为主体在教师的主导下按照认识规律探究、学习、掌握立体几何知识内容，后者是学生在教师完全掌控下灌输式地接受知识内容，虽表面上达到新水平，但不具备与之对应的能力。所以，教师应做好引导铺垫工作，合理设置问题情景进行启发诱导，使学生的几何思维水平一步步地得到有效的提升。

2.重视不同层次语言符号使用

在不同的水平层次，学生会使用不完全相同的语言符号表达。当学生刚开始学习时，表达必然是具体化的，例如两条直线相交，但教学内容深入抽象后，对相交描述更侧重于它们有唯一的共同点。教师应引导学生在与文字语言的对照中逐渐了解、掌握、应用数学语言进行抽象表达，通过学习数学语言的过程加深学生对立体几何本质的认识。但数学语言的学习使用，必须依据学生立体几何学习水平，过早的学习只会违背从具体到抽象原则，造成各层次语言使用的混乱，不利于学生几何思维水平的提升。

3.重视学习过程中思维水平间过度

各个水平间并没有平滑的过度，而是一个层次跳跃到另一个层次。在立体几何教学过程中，随着内容的从整体向具体空间要素的过度，学生必然要经历思维上的危机，可感觉到不知所措，这是达到一个新层次所必须经历的，也是教师帮助学生去“知所措”好时机。在这个阶段不仅需要的是练习，还需要教师做好总结归纳的工作，帮助学生从整体上把握知识框架，从细节上去理解定义定理的内涵与运用，温故而知新。

4.确保教学与学习思维水平匹配

要取得良好的教学效果，学生的思维与教师的教学需要处于同一个水平层次，否则不能达到预期的教学效果。在立体几何教学活动过程中，教师需要提前了解学生的知识储备，对不同的班级选择合适的立体几何教学知识内容，设计与学生当前立体几何水平相匹配的教学活动。在同一个班级中，教师应当充分考虑不同学生学习基础不同，学习能力不同，学习状态不同，并在教学设计中对一堂课的教学活动遵循因材施教的原则，让每个同学都能参与到教学活动中来，从而充分挖掘自我潜力和展示自我能力。

【参考文献】

[1] 鲍建生.数学学习的心理基础与过程.上海：上海教育出版社，2009.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.endprint