如何利用基本不等式求函数的最值和值域

湖南省宁乡县第一中学 刘备源

对于高中数学而言，基本不等式虽然看起来比较简单，但是我们在考试中却很难得到高分，究其原因，是不会灵活运用相关的性质。本文从我自身的学习经历出发，浅谈利用基本不等式求函数的最值和值域需要重视的方面，希望对广大同学有所帮助。

一、夯实基础

众所周知，数学题对我们的数学思维要求越来越高，题目的本身也具有较强的新颖性和灵活性，许多同学将精力都放在难度较大的综合性试题上，从而忽视了夯实自己的基础。俗话说：“基础不牢，地动山摇。”要想取得高分，在平时的训练中就必须重视基础知识。在学习的过程中，我们要注重公式和定理中隐藏的解题规律，通过发掘规律去“悟”出解题的思路和方法，从而提升自身的数学思维，达到灵活运用知识的效果。解题过程中，我们不能生搬硬套、照葫芦画瓢，要通过思考来避免机械地模仿，提升试题的得分率。

例如在求基本不等式函数的最值时，需要有三个条件，即一正二定三取等：一正指“函数中的各项都为正数”；二定指“函数中含变项的和或积必须要有一个是定值”；三取等指“函数含变数的各项相等时，取最值。当两个正数的和为定值时，积有最大值。两个正数的积为定值时，和有最小值”。在审题时，一定要明确在基本不等式函数的应用条件后，方能作答。以下面两道题为例：（1）已知a，b为正数，则的大小关系为_____；（2）已知x＞3，求的最小值。变式：x＜3，求的最大值。我通过这三道题，可以知道基本不等式函数的应用条件，尤其是第（2）题，通过简单的变形，我可以认识到基本不等式使用时是有条件的。

二、巧避陷阱

在高中数学中，中等难度的试题是区分度较大的一类试题，一般都会有陷阱，我们也很容易掉进陷阱。因此，在学习过程中，我们应当在夯实基础概念之上，通过一定强度的练习开阔自己的视野，熟悉解题思路。在数学试卷中，题干信息也非常重要，命题人很容易针对我们思维的定式和误区来设置陷阱，在做题过程中，一个不小心，就很容易掉进所设置的陷阱。在审题中，在读懂、读清题干的基础上，我们应当抓住题干表面材料背后隐藏的关键点，避免思维定式，精准把握题干材料，尤其要注意题干信息中的限定条件。

例如，在考试中，我遇到过这样中等难度的试题，很容易做错：已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值。有同学这样做：2①，即所以所以即最小值为12。这里①成立的条件为②成立的条件为x=y，两个不等式成立的条件是不相同的，从而导致产生错误，本题的正确解法是利用“1”的代换。通过上面的例题，我们尤其要注意到方程中不等式的相等条件，不能看到基本函数不等式就利用其性质，要注意题干所隐藏的信息，准确找到内在的信息，从而做到正确解题。

三、注重应用

应用题历来是学习和考试中的难点，加之老师在教学中专注于概念、定理的讲解，就导致我们在日常学习中应用题的训练强度不大，很容易在考试中出现失分的现象。由于缺乏系统性的练习，加之基础知识不扎实，好些人都会在考场上放弃应用题，这种做法是不对的。因此，我们必须走出学习应用题的误区，突破数学应用题的难点，要加强训练的强度，从而提升考试的分数。在学习方法上面，我们要采用对比、联想的方式，在练习完一道习题后通过变化题干的方式来拓展解题的思路，取得举一反三的学习效果。

例如，我在期末复习中遇到这样一道习题：某种仪器在购买时花费了10万元，它的年均管理费为9000元，在使用过程中还会有维修费用，费用为每年两千元递增，第一年为两千元，第二年四千元……那么这个仪器使用多少年后报废最划算（即使用多少年的平均费用最低）？设使用x年最划算，年均费用为[x（x+1）+100]/x，然后再使用基本不等式求最值就可以了。这道题其实不难，在解答本题过程中，我们需要紧紧抓住题干重点，即每年的费用是变化的，先列出相应的求和方程式，再运用基本不等式函数进行求解，最终得到相应的答案。因此，在日常应用题训练过程中，我们应当积极开展训练，通过题干去找到内部的主要信息，然后列方程，最后求解。

总之，在日常学习过程中，我们应当通过重视基本概念，学会灵活运用数学概念，提升解决问题的能力，运用严密的思维来重视审题过程，从而获得解题的成就感和快乐感，最终取得较好的考试成绩。

[1]胡进．基本不等式在高中数学教学中的应用[J]．中学生数理化（教与学），2014（08）．

[2]庄德明．浅析高中数学“基本不等式”常见题型[J]．新课程（中），2014（12）．