线性代数在实际问题中的应用

张晓星　杨盼盼

摘 要：由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。本文将根据对线性代数理论知识的学习，研究其在一些典型实际问题中的应用，从而使得线性代数方法得到更广泛的推广。

关键词：多项式；减肥配方；交通流；人口迁移模型

1在求函数多项式中的应用

由于最后一行全为零，这个行最简形矩阵只有三个有效行，也就是说四个方程中只有三个有效方程，故其对應的有效线性方程组为x1=x4+330x2=x4+170x3=x4+210

由此可知，方程的个数<未知量的个数，方程有无穷多解即没有给出足够的信息来唯一地确定x1，x2，x3和x4。其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以x4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，x1，x2，x3和x4都不能取负值。

4在人口迁移模型中的应用[2]

已知某城市2009年的城市人口为5000000人，农村人口为7800000人。假设每年大约有5%的城市人口迁移到农村（95%仍然留在城市），12%的农村人口迁移到城市（88%仍然留在农村），如下图所示，忽略其他因素对人口规模的影响。计算2011年的人口分布。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李尚志.线性代数精彩应用案例（之一）[J].大学数学，2006，22（3）：1-8.endprint