基于RTWT平台的控制力矩陀螺LQR方法研究

钱玉恒， 王佳伟， 杨亚非

( 哈尔滨工业大学 航天学院 飞行器控制实验教学中心, 哈尔滨 150001)

当今世界，航天技术飞速发展，航天器的用途种类愈加繁多，规模愈加扩大，航天器的精度与稳定性需要随之提高以达到航天工程领域的要求，而其姿态稳定性更是这一切的前提.航天器的姿态控制一般采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope,简称CMG)作为它的执行器[1-4]，例如，国际空间站应用的一些单框架力矩陀螺或双框架力矩陀螺，需要配置力矩陀螺的构型，使多个陀螺可协同动作，进而实现姿态控制的作用.控制力矩陀螺基本原理是通过改变陀螺飞轮的转轴方向，产生角动量交换，并作用到航天器上，达到改变其角速度及姿态的目的[5].据不完全统计，在国际航天领域应用中，现在有近400个航天器采用控制力矩陀螺作为其姿态控制系统的主要执行器.在国内，天宫一号飞船则第一次使用了控制力矩陀螺作为其执行机构[6]，并且进一步应用到了天宫二号上[7-10].目前，针对控制力矩陀螺的有关研究取得了很多的成果[11-12]，这些研究将为航天器姿态控制理论的学习奠定必要的基础.美国ECP公司生产的Model750型控制力矩陀螺是一种能够全面验证力矩陀螺特性的实验装置，已经在世界众多知名大学得到应用，促进了对力矩陀螺的研究和教学.

RealTime Windows Target(简称RTWT)是基于Matlab软件的实时实验平台，利用Simulink构建的控制器，通过运动控制卡对硬件系统进行实时控制，从而构成半实物的实时控制研究.

本文首先将介绍控制力矩陀螺的结构，推导其数学模型，然后利用实时仿真平台，基于线性二次调节器(linear quadratic regulator，简称LQR)方法为其设计最优控制器参数，并进行仿真验证.

1 设备组成

该实验装置由机电装置、控制箱和应用程序组成[8].

控制力矩陀螺的机电部分如图1所示.主体包括4个部件：框架A、B、C和转子D.框架A绕轴4旋转，角位置由编码器4测量；框架B绕轴3旋转，角位置由编码器3测量；框架C绕轴2旋转，角位置由编码器2测量.另外，为每个框架分别配置了摩擦滑环，惯性开关和制动器.转子D是大惯量转子，绕轴1旋转，由直流伺服电机1驱动，角位置由编码器1测量.

图1 控制力矩陀螺机电部分

控制系统处理器使用M56000系列，能够在高采样率下执行控制律，可以分析解释程序指令，并支持数据采集，轨迹生成，系统状态及安全检测等.

用户界面可以实现控制器设计、轨迹定义、数据采集、绘图系统、执行指令等功能.内置的编译器通过数字信号处理器进行程序代码的传送和执行.该接口支持多种功能，提供了一个非常强大的实验环境.

2 数学模型推导

建立一组坐标系如图2所示，其中：ai,bi,ci和di(i=1,2,3)为相互正交的单位向量，并且分别固定在框架A，B，C，和D上，组成四个固连坐标系，对应的四个转动轴为轴4，轴3，轴2，轴1.单位正交向量Ni(i=1,2,3)构成惯性参考坐标系N.q1定义为D在d2方向的角位移，q2、q3和q4被定义相应的转角，它们决定了系统构形.另外，在动力学分析中，考虑系统的质心位于转子D中心，不考虑转子的移动，通常只考虑D的角速度ω1给出系统部件的主惯性矩阵如下：

图2 坐标系

(1)

其中，Ix,Jx,Kx(x=A,B,C,D)分别表示部件A，B，C和D中绕第i(i= 1,2,3)方向的标量转动惯量.A在N中的角速度给出如下：

NωA=ω4a3

(2)

同理，我们定义以下量：

AωB=ω3b2

(3)

BωC=ω2c1

(4)

CωD=ω1d2

(5)

将广义坐标与角速度相关联的运动学微分方程如下：

(6)

(7)

(8)

将每个部件的坐标系变换到惯性坐标系：

(10)

(11)

(12)

c2=d2

(13)

该装置具有两个输入：第一个输入是旋转电机，施加的转矩T1，则C和D的转矩为：

TD=T1d2

(14)

TC=-T1d2

(15)

第二个输入转矩T2，则C和B的转矩为：

TC=-T2c1

(16)

TB=-T2c1

(17)

系统的动力学模型可由式(1)～(17)描述.再求解其运动方程：

T1+f1(q2,q3;ω2,ω3,ω4;ω1,ω3,ω4)=0

(18)

T2+f2(q2,q3;ω1,ω3,ω4;ω1,ω2)=0

(19)

f3(q2,q3;ω1,ω2,ω3,ω4;ω1,ω3,ω4)=0

(20)

f4(q2,q3;ω1,ω2,ω3,ω4;ω1,ω2,ω3,ω4)=0

(21)

定义系统的平衡点为ω1=Ω，q2=q20，q3=q30，则线性化方程为

(22)

(23)

(24)

(25)

至此，系统的数学模型完全得出.

3 控制力矩陀螺的RTWT平台

在RTWT平台下，搭建控制力矩陀螺的控制框图，如图3所示，其中，深蓝色模块代表实际的物理对象，即使用ECP软件编写好的用于实时控制的板卡模块；黄色模块表示输入量，其内部有六个不同的输入信号与信号六接口信号选择器相连；浅蓝色的模块表示控制器，需要根据实际的控制器来设计，其结构要根据实际控制系统的结构进行改变和重新搭建.

图3 控制力矩陀螺的RTWT实时控制框图

4 LQR实时控制器的设计与控制实验

LQR理论是现代控制理论中发展最早、最成熟的一种状态空间设计方法，利用LQR可得到状态反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制，可让系统满足一定的性能指标要求.

4.1 实验装置构形及简化数学模型

在本实验中，实验装置的配置构形如图4，运动示意图如图5.

图4 Model750构形图

图5 运动形式示意图

(26)

对于原系统的七个状态变量(q2,q3,q4,ω1,ω2,ω3,ω4)(转子角位置q1无实际意义，为底座轴)，控制目标是框架A(即轴4)的位置，因此首先选择两个状态变量q4和ω4，另外关于主控制轴4与输入力矩T2的传递函数为三阶，由于此时框架3被锁定，q3,ω3均为0，且转子D的速度是单独控制，而框架A是通过电机2，即框架C(轴2)间接驱动的，因此选择框架C的角速度ω2作为第三个状态，综上系统的状态变量X=[q4ω2ω4]T即可得到控制陀螺力矩的状态空间模型：

(27)

(28)

其中系统矩阵根据装置的参数可得

C=[1 0 0]

为其构造二次型目标函数如下

(29)

其中

(30)

接下来通过全状态反馈使得二次型目标函数J最小.利用Matlab中介黎卡提方程的命令lqr(A,B,Q,R)，求解控制矩阵K.画出LQR控制的框图.见图6、7.

图6 时域LQR控制框图

图7 频域LQR控制框图

根据图7，可得闭环传递函数：

(31)

其中：

(32)

N2(s)=ke2ku2(ID+KA+KB+KC)s

(33)

N4=-ke4ku2ΩJD

(34)

(35)

(36)

4.2 控制器参数设计

选定状态反馈控制律

u=-Kx

(37)

其中：K=[k1K2K3].通过求解黎卡提方程寻找使目标函数最小的控制器K，即

(38)

经过多次实验和参数改良，取r=0.05.综上求得K=[-4.5 0.072 -0.22].令输出等于输入求得kpf=-4.5

4.3 LQR实时控制器搭建

LQR实时控制器的搭建结构如图8所示，k1和k3所在的环节均与编码器4相连，表示轴4位置的反馈信号，k2所在回路与编码器2相连，表示轴2的反馈信号.由此对应状态变量x，构成了一个LQR全状态反馈控制器.

图8 RTWT平台

4.4 控制实验状况

在控制力矩陀螺硬件平台中设置采集编码器2，编码器4，命令位置1和控制效果1的数据；在RTWT平台中，给定一个幅值为10 V，停留时间为4 s，重复次数为1的阶跃信号；在控制器单元输入设计的LQR控制器参数，编译并加载到硬件平台中，得到阶跃响应和频域响应曲线如图9、10.

图9 阶跃响应曲线

图10 频域响应曲线

经过测量计算时域响应曲线的峰值时间为0.297 s，超调量为3%.因此，可以看出LQR方法设计的控制器具有很快的上升时间(假设没有饱和)，和更宽的带宽(仅限于当前参数).同时经过对K值参数的不断调整和控制，得到如下结论：k1(绝对值)的取值会直接影响到控制系统的峰值，过大则会造成过高的超调；k2(绝对值)的取值过大会使系统的阻尼过小，系统发生谐振；k3(绝对值)也会对系统阻尼造成直观影响，过大则系统快速性降低，过小则会发生过多的震荡.因此，还应根据黎卡提方程所求的K矩阵进行微调，取最理想结果.

5 结 语

本文主要利用实时实验系统平台为ECP750控制力矩陀螺装置设计了LQR实时控制器，实现了最优的状态反馈控制.通过这个实验，学生可以掌握高级的控制方法在控制力矩实验装置中的实践应用.

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