高考数学复习的针对性*——以两年高考题中的一个恒等式为例

□吴道春

（海安县海陵中学，江苏海安 226600）

高考数学复习需要有针对性，而不少教师最终针对的是“知识点—题型”的循环往复.如果说这种复习的针对性在一定的历史阶段是有效的，那么随着近年来核心素养逐渐成为国内外数学教育领域最热、最前沿的关注点，高考数学命题已经并将继续聚焦数学核心素养，高考数学复习的针对性调整就迫在眉睫.下面，笔者结合对2016年和2017年两年江苏高考数学试卷的最后一题的分析，探究高考数学复习的针对性.

例1（2016年江苏卷第23题）（1）求

例2（2017年江苏卷第23题）已知一个口袋中有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）.

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＜

例1（略解）：当n=m时，结论显然成立；

例2（略解）

结合这“一个恒等式，两年高考题”，我们探索性地提出高考数学复习的五大针对性.

一、针对四基四能

四基是指数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.这两个例题所涉及的数学基础知识有组合数的概念和公式、古典概型、数学期望等；基本技能有组合数的运算、恒等式的推导、不等式的证明等；基本思想有分类讨论思想、转化思想、递推思想（求和、整体思想（把“从袋子里面逐个取出n个黑球依次放入编好号的m+n个抽屉”抽象为“从m+n个抽屉中任取n个抽屉放黑球”）等；基本活动经验有观察、想象、分析、探究、运算、推理等.过去，我们比较重视基础知识、基本技能，今后我们也要重视基本思想、基本活动经验.

四能是指学生能够发现和提出问题，分析和解决问题.发现问题是指在问题情境中通过观察、思考发现的规律；提出问题是指用数学的语言和符号表达所发现的问题；分析问题是指识别问题的本质特征，厘清问题的条件和结论，探索解决问题的思路；解决问题是指运用数学工具一步步求解问题.例如，观察例1、例2中式子的结构特征发现问题：左边是一系列项的和，右边是一项，需要求和；提出问题：左边各项都有系数，如何把这些系数“吸进”组合数？分析问题：分析组合数的结构特征，探索、证明组合恒等式；解决问题：代入组合恒等式，一步步完成解题过程.

四基是培养学生数学核心素养的载体，四能是培养学生数学核心素养的目标.教师应当创设适当的问题情境，引导学生在数学基本活动中学习数学基础知识和基本技能，感悟数学基本思想；在整个教学过程中，教师应鼓励学生发现和提出问题，分析和解决问题.

二、针对教材资源

教材是数学教学和考试命题的依据和核心.在苏教版选修2-3的第24页的练习题中有一道证明题，要求证明，这个式子经过变形就是组合恒等式

例1、例2的解题过程用到这个恒等式，如果就这样认为例1、例2考查的就是这个恒等式的证明和应用，就会出现两个严重的问题：（1）考试命题超出“课程标准”的要求和“考试说明”了；（2）我们在平常的教学中就会无限制地补充“课程标准”要求之外的知识，这样不仅加重了教学的负担，而且效果甚微，吃力不讨好.实际上，根据上文分析，我们是在观察了这两个题目中式子的结构特征后，经过探索发现并应用这个恒等式的，而不是生搬硬套.实际上，命题专家出这两个题的意图是，利用教材资源，考查学生的数学核心素养.

关于如何用好教材资源，培养学生的数学核心素养，我们提出三点建议：（1）不仅要要求学生弄懂、会做所有课本例题、习题（基础知识、基本技能），而且要引导学生掌握题目背后的通性通法，体会题目所蕴含的数学基本思想.（2）对于教材题目，教师不能一味地讲解，教师可以适当引导学生的思维，学生在教师的引导下，抓住问题的本质特征，探索解决问题的思路、方法，在整个问题解决的过程中，学生始终冲在最前面，是问题解决的主体，这样学生才能经历问题解决的全过程，体验数学基本活动经验.（3）可以适当改编教材题目，促使学生加深对问题的理解，巩固所涉及的概念和方法.改编不仅限于横向的拓展，还包括纵向的跃升，如例1和例2是在教材题目结论的基础上的应用，这就是一种跃升.任何一个数学结论（命题）都不是我们思维的终点，我们应当思考它的本质、它的推广、它与相关命题的联系、它有哪些应用等，数学核心素养就在这个过程中生成和提升.

三、针对课程要求

我们的数学教学，不能盲目地照本宣科.教什么、怎么教，要看“课程标准”，考什么、怎么考，要看“考试说明”，教考结合、有的放矢，才能精确制导、减负增效、稳操胜券.

例如，“课程标准”对排列与组合的学习要求是：理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.教学建议是：通过实例，引导学生总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解排列、组合的概念；引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式.同时，应避免烦琐的、技巧性过高的计数问题.

“考试说明”包含命题的指导思想、考试内容及要求、考试形式及试卷结构、典型题示例.“考试说明”每年可能会有修订，如2017年江苏省高考“考试说明”中数学学科的主要修订内容是：（1）突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，强调基础知识和主干知识的重要性；数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决；创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.（2）关于“了解”“理解”的描述，参照考试大纲做了适当微调.（3）典型题示例进行调整，新增近两年江苏高考试题.可以看出这些主要是对命题指导思想的修订，修订的方向就是紧跟数学教育改革的新理念——聚焦数学核心素养.

四、针对重点难点

我们的高考数学复习不能平均发力，必须在重点、难点上多发力.一般来说，数学学科的主干知识（如函数、数列等）以及“考试说明”中的理解（B）和掌握（C）层次的知识点都是重点，掌握（C）层次的知识点也是难点.

对于重点知识的复习，我们提出三点建议：（1）要夯实概念，学生要经历概念的形成过程，从数和形两个角度理解概念的本质，形成深刻的认识，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养，如例2就考查了学生对组合数以及古典概型等重点知识的深刻认识.（2）题型的训练要遵循学生的认知规律，从单一向综合过渡，从简单向中等难度过渡，适时培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象和数据分析核心素养；题目不能过难，否则不利于学生数学核心素养的培养.例2就是考查学生数学核心素养的中等难度的综合题.（3）教师可以适当引导学生的思维，但具体的问题解决过程要让学生自己完成，教师不能包办代替，在这个过程中，学生的数学核心素养才能得以提升.

对于难点知识的复习，我们在对重点知识复习的三点建议的基础上，针对综合性较强或较为困难的题目增加三点建议：（1）鼓励学生花足够的时间充分思考、探究，有的题今天想不起来，明、后天可以再想，总之要让学生被这个题充分地“折磨”，在折磨的过程中，学生可以收获超出这个题本身很多的东西，如数学知识、核心素养、解题经验和能力、坚毅的精神等，所谓“磨刀不误砍柴工”，这个时间值得花.（2）控制题量，学生在这部分题上花费的时间不能占用太多复习的总时间，否则得不偿失.（3）对不同层次的学生分层要求.

五、针对错点盲点

错点是指学生解题犯错的地方.学生解错题目的原因可能有：（1）概念理解不深刻或有偏差，没有抓住概念的本质特征；（2）对某种题型的训练不到位，没有达到熟能生巧的程度；（3）某一方面的数学素养的水平不高，没有形成优质的思维品格；（4）学习的态度或解题的习惯有问题，没有养成良好的心理特征.

错点是非常宝贵的教学资源，我们提出以下建议：（1）要求学生按照知识体系分类将错题整理到错题本上，形成自己的错题集；学生要订正错题，找出错误的原因，以便自主和有针对性地弥补不足.（2）教师要研究学生共性的错点，反思自己教学中可能存在的问题，以便及时调整；教师可以针对共性的错点，开设有针对性的专题课，针对个别学生的错点，做好个别辅导.（3）如果是态度或习惯的问题，教师要多跟学生沟通，调动学生的积极性，端正态度，规范行为，严格要求.

盲点是指学生认知的盲区.举三个例子：（1）例1、例2中的组合恒等式教材不作要求，是学生认知的一个盲区，但是现在高考命题的指导思想是考查学生的数学核心素养，学生只要根据特定的运算情境，探究运算的方向和方法，探索发现它并不困难，这也是数学运算核心素养的高考水平所要求的.（2）2016年江苏卷第13题“在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，很多学生不会思考，是因为他们平常只知道算题，没有反思或者教师没有引导他们反思运算的基本思想——坐标思想，使得它成为学生认知的一个盲区.（3）2016年江苏卷第19题（函数题）考查了“用不等证相等”的方法，2017年江苏卷第20题（函数题）考查了“二元化一元”和“用单调性找不等关系”等方法，对很多学生来说这就是盲点.大多数时候，学生的盲点就是数学素养的缺陷，在高考复习的过程中，教师要及时发现学生的盲点并填补.

归根结底，我们提出的高考数学复习的五大针对性最终都指向数学核心素养，数学核心素养将成为数学课程、数学课堂以及考试命题的最具统摄力的主线.