向量大“变身”，玩转圆锥曲线

卞小伟

在圆锥曲线的综合应用中，常常会碰到向量的“身影”，向量偶尔来“凑凑热闹”，给圆锥曲线问题带来无穷新意和一派生机.由于向量身兼“数”、“形”两种身份，因此它可用来简洁明了地表示多种几何关系.通常情况下，向量会“变身”为共线、平行、垂直、线性运算、数量积等形式.

一、向量“变身”为三点共线

直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线应用中的常见问题，一条直线上三点的位置关系及线段的长度关系可用向量来表示.

例1已知点F和直线l分别是椭圆的右焦点和右准线.过点F作斜率为的直线，该直线与l交于点A，与椭圆的一个交点是B，且.则椭圆的离心率e＝_______.

分析条件形式上是向量的共线，且F点为公共点，不仅可转化得到三点A，F，B共线，还可以得到线段AF与线段FB的长度关系.处理时，设出点的坐标，将向量坐标化，代入数据即可.

解因为F（c，0），设出直线AB方程，与直线联立方程组得：点

设点B坐标（x，y），结合，得

二、向量“变身”为平行关系

圆锥曲线中直线与直线的平行关系可以用向量的等量关系表示.

例2设F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是________.

分析注意到中没有公共点，F1A与F2B不是共线关系，而是平行关系.处理时，仍然转化为坐标运算.

解设A（x，y），则，可得B点坐标

将A，B分别代入椭圆方程，联立方程组可得：

解得：A（0，1）或（0，-1）.

三、向量“变身”为垂直关系

圆锥曲线中直线与直线的垂直关系也可以用向量表示，若数量积为零，即说明两直线垂直.

例3已知双曲线，P是其右支上任一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，Q是PF1上的点，N是F2Q上的一点，且有，，求Q点的轨迹方程.

分析条件，说明了PN⊥F2N且F2N＝NQ，即直线PN是F2Q的垂直平分线.理解向量条件的几何意义，是解决本题的关键.

解由已知得，

由双曲线的定义得｜PF1｜-｜PF2｜＝，

所以Q的轨迹是以F1为圆心，半径为的一段圆弧.

所以Q的轨迹方程为.

四、向量加法运算的“变身”

当圆锥曲线中向量与向量不共线时，几个向量之间的关系可以利用加法运算表达出来.

例4设双曲线0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_______.

分析由于P，A，B三点是共线的，则条件应满足λ+μ＝1.

解直线l方程为x＝c，代入双曲线方程可得双曲线两渐近线方程为，与直线l方程联立可得，所以，由P，A，B三点共线得λ+μ＝1，又，解得（P在第一象限）.

五、向量数量积的“变身”

向量的数量积在圆锥曲线中的应用特别广泛，数量积既可以作为条件，也可以作为结论；题型上可以有求数量积的值、求数量积的范围、求定点、求定值、求轨迹等.

例5已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，求的最小值.

分析设出P点坐标，从而运用向量的坐标形式进行运算.

解设，所以，.

因为x≥1，所以x＝1时，取得最小值.

由此可见，向量在圆锥曲线中的体现形式千变万化，但通常解决的方法基本一致，即先将向量的条件转化为坐标之间的数量关系，或几何图形的位置、大小关系，然后再通过联立方程组等代数方法或借助平面几何的知识、方法解决问题.