神奇的数——从冰雹猜想到亲和数

刘燕楠

数学如此神奇，往往源于数的神奇.

天文学上有黑洞，数有黑洞，你相信吗？

1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻.文中记叙了这样一个故事：20世纪70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏.什么样的游戏会有如此大的力量和吸引力呢？说出来其实是很简单的：任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3n+1；如果是个偶数，则下一步变成.在两条极其简单的规则引导下，可以将任何一个自然数进行变换，你是否可以想象：几乎所有的自然数都将会陷入一个死循环！

更为神奇的是，不单单是学生，连教师、教授与学者都纷纷加入.为什么这种游戏的魅力经久不衰？它甚至把古典的“哥德巴赫猜想”打入了“冷宫”.人们发现，无论n是怎样一个数，最终都无法逃脱回到谷底1，准确地说，是无法逃出落入底部的421循环，永远也逃不出这样的宿命.真是令人不可思议，不论你从什么样的自然数开始，也许中间要经过漫长的历程，变出来的数忽大忽小，很有点像冰雹穿过暴风雨云层时的轨道，忽而由气流推着上升，忽而又由于自身的质量而下降，所以在美国这个猜想被称为“冰雹猜想”，但最终会跌进上述死循环，结果多么令人难以置信.现在人们已经试验到很大的自然数，仍没有发现反例，但也无法加以证明，它仍然是一个猜想.冰雹猜想又称为角谷猜想，因为是由日本学者角谷静夫把它传到亚洲，人们就顺势把它叫做“角谷猜想”.

冰雹的最大魅力在于不可预知性.英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27.虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步的变换到达顶峰值9 232，然后又经过32步到达谷底值1.全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9 232，达到了原数27的342倍，如果以瀑布般的直线下落（2n）来比较，则具有同样雹程的数n要达到2的111次方.在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外）.

经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具4k和3m+1（k，m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉.所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是64……以后每隔一节，产生出一支新的支流.

自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于2n的强大支流——33×2n（n＝1，2，3，…），然而，27到421数列比本流227到421数列要遥远得多.按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把1248…2n的这一支看作是“干流”.

图论专家据此阐述了一种独特的方法：把数列群比作是一棵树，421数列是连理枝，至于上面的分支构成了一个奇妙的数列通路，包含了所有的自然数.但是非常可惜的是，这个理论至今也没有人可以证明.所以“冰雹猜想”还是数学皇冠上一颗尚未鉴别的宝珠.

让我们从数字黑洞中爬出来，谈一点轻松的话题：亲和数.

人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”.这还得从大名鼎鼎的毕达哥拉斯谈起，他是世界古代十大名人之一.一些历史传说里，把他描绘得像一尊神，说河水遇见了他，也会卷起浪花来问候：“您好啊，毕达哥拉斯！”

有一次，毕达哥拉斯对人说：“朋友是你灵魂的倩影，像220和284一样亲密.”

原来，毕达哥拉斯发现，自然数220与284有一种非常奇妙的关系.220一共有12个不同的因数：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220.如果不算220它自身这个因数，那么，220所有因数的和正好是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110＝284.而284呢，一共有6个不同的因数：1，2，4，71，142，284.如果不算284它自身这个因数，那么，284所有因数的和又正好是：1+2+4+71+142＝220.你的因数之和等于我，我的因数之和又正好等于你，这对奇异的数真像一对亲密无间的朋友.数学上，具有这样特征的自然数叫做“亲和数”.毕达哥拉斯发现的220与284，是人类认识的第一对亲和数，也是最小的一对亲和数.

古时候，人们常把这两个数分别写在两个护身符上，认为佩戴这种护身符的朋友就能保持良好而持久的友谊.在很长一段时间里，人们都没有发现新的亲和数.直到1636年，才由法国数学家费马发现了另一对亲和数：17 296和18 416.两年以后，法国数学家笛卡儿也发现了一对亲和数：9 363 584和9 437 056.18世纪中叶，著名数学家欧拉系统地研究了亲和数.1747年，他列出了一个有30对亲和数的表，不久又将表中的亲和数扩展到60对，其中包括2 620与2 924，5 020与5 564等等.

那么，在284到2 620之间有没有亲和数呢？这是一个被人们长期忽视了的问题.1866年，16岁的意大利少年帕加尼发现，正是在这段数中间，存在着第二对较小的亲和数1 184和1 210.

近百年来，不断有新的亲和数被发现.

亲和数到底是有限对还是无限对呢？到底有没有奇偶对呢？有没有寻找亲和数的一般公式呢？这些问题到现在依然是谜，等待着我们去研究和探索.