向量在几何中的应用

王宁齐

摘 要：向量作为数学中重要的内容之一，具有几何形式和代数形式的双重性质，也是数与形之间转换的重要桥梁。因此，向量在几何中具有广泛的应用，可以说是解答几何问题的有力工具。本文以向量的涵义为出发点，通过实例分析了向量在平面几何、解析几何和立体几何这三个方面的应用，以充分显示向量独特的优势。

关键词：向量；几何；应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-234-01

一、向量

向量是可以用带箭头的线段来表示的既具有大小又具有方向的量，其中箭头指示的方向就是向量的方向；线段的长度就是向量的大小。

二、向量在几何中的应用

向量是形与数的高度统一，它既具有几何的直观，又具有代数运算的简便。所以，向量在几何中的作用是非常重要的。接下来我们通过实例从平面几何、解析几何和立体几何这三个方面讨论下向量的应用。

（1）向量在平面几何中的应用

利用向量解决平面几何的问题，一般分为几个步骤：一是将题设和结论中的条件转化成合适的向量；二是确定相应的基底向量，并利用基底向量代替其他向量；三是利用向量的运算，比如数量积和向量的加减法来进行解题。

1.证明三点共线

例1：已知△ABC，P、Q分别是其两边AB、AC的中点，在BQ的延长线上取一点M，使QM=BQ，在CP的延长线上取一点N，使PN=CP。求证：M、A、N三点共线。

首先看到结论三点共线 ，我们要想到相关的结论：平面上三点A、B、C三点共线 = 。接着设 = ， = ，那么 = ， = ，由此可以得到 = = - ， = = - ，所以- = + ， =-（ + - ）=-（ - ）= - ，同样- = + =-（ + - ）= - ，所以 = - ，也就是说 = ，因此 // ，而且它们有公共点A，所以M、A、N三点共线。

2.证明平行问题

例2：证明四边形各中点所得到的四边形是平行四边形。

要证明平行四边形，只需要证明一组对边平行且相等，也就是它们对应的向量相等就可以。首先作一个四边形ABCD，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点，证明MNPQ是平行四边形。接着连接AC，因为M、N分别是AB、BC的点，所以 = + = + = （ + ）= ，同理推出 = ，所以 = ，那么MN//QP且MN=QP，所以四边形MNPQ是平行四边形。

（2）向量在解析几何中的应用

向量具有代数和几何的双重性质，数与形是结合在一起的，而解析几何也是数与形的结合，所以向量与解析几何之间有着密切的联系。

1.夹角的问题

例3：已知双曲线 - =1（a>0，b>0）的离心率e= ，点A与点F分别是双曲线的左顶点与右焦点，B（0，b），求∠ABF的大小。

根据已知条件，设A（-a，0），F（c，0）， =（-a，-b）， =（c，-b），由e= = 推出c= 。 · =-ac+b2=-ac+c2-a2=a2（e2-e-1）=a2[（ ）2- -1）]=0，所以 ，即BA BF，∠ABF=90°。

2.坐标取值范围的问题

例4：已知椭圆 + =1的焦点分别是F1，F2，M是其上的动点，当∠F1MF2是钝角时，求点M横坐标的取值范围。

根据已知条件知道F1（- ，0），F2（ ，0），设M（3cosθ，2sinθ）， =（- -3cosθ，-2sinθ）， =（ -3cosθ，-2sinθ），那么 · =9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，所以得到-

（3）向量在立体几何中的应用

立体几何要解决的主要问题是空间图形的大小、形状及其位置关系等，而向量具有数形兼备的特点，与代数、几何知识联系紧密。利用向量解决立体几何问题，就是建立相关的直角坐标系，把图形中的相关点用坐标表示出来，相关的线段用向量表示出来，从而将空间问题问题转化成为坐标运算，这样就避开了辅助线的添加等复杂的求解，大大简化了求解的过程。

三、总结

向量既具有代数形式的特点，又具有几何形式的特点，所以向量與几何，比如平面几何、解析几何和立体几何之间的关系是非常紧密的。我们要树立运用向量解题的意识，也要善于运用向量的知识去解决几何中的各类问题，以使问题更加直观化、简单化。

参考文献

[1] 曹泽纪、刘丽花，向量与立体几何[J]，数学教学通讯2009（14） ：32-33

[2] 蒋 颉，平面几何中的向量方法[J]，数学学习与研究2016（1） ：97