最值问题解题方法的探讨

许云飞

摘 要：数学中的最值问题覆盖面是非常广泛的，解法也是灵活多样的，而且最值问题是人们在日常生产和生活中最常见的一种数学问题，比如“最好”、“最优”和“最少”，然而这些问题最终都会转化为最值问题来进行求解。因此，研究最值问题的解题方法是具有实用性的。本文在阐述了最值问题的概念基础上，通过实例对最值问题的解题方法进行了探讨，以帮助人们更好的解答最值问题。

关键词：最值问题；解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-092-02

一、最值问题的概述

最值问题是数学和物理中常见的类型题目。“最大最小”、“最长最短”等问题都是最值问题，它主要是用来解决有“最”字描述的问题。

二、最值问题的解题方法

最值问题是一个综合能力的考察，所以要求我们一定要有分析的能力，并且牢固掌握最值问题的解题方法，这样才能有效灵活地运用最值问题。函数在我们做题的过程中出现较为频繁，所以接下来我们通过实例主要来讨论下函数最值问题的解题方法，以帮助我们更好地理解和解决问题。

1、定义法求解最值问题

通常情况下，函数的最值分为函数最大值和函数最小值。而函数最值的几何意义指的是在坐标系下函数图像的最高（低）点的纵坐标就是函数的最大（小）值。即有函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数a满足以下两种条件：一是对于任意实数x I，都有f（x）≥a；二是存在x0 I，使f（x0）=a，那么实数a就是函数y=f（x）的最小值。相反，如果实数a满足对于任意实数x I，都有f（x）

2、配方法求解最值问题

如果函数通过变量代换能够变成关于T（x）的二次函数形式，我们就可以先把这类函数配成f（x）=a[T（x）-m]2+n，然后按照函数T（x）的取值来判断函数f（x）的取值范围。配方法可以直观地表达出当前式子的最值信息，所以在解题中使用较多。

例1：设a，b为实数，代数式5a2+4b2-8ab+2a+4能不能取得最小值？代数式

5a2+4b2-8ab+2a+4=4（a2-2ab+b2）+a2+2a+4=4（a-b）2+（a+1）2+3，由配方法的结果我们可以得到在点a=-1，b=-1处，代数式有最小值3，因此原代数式可以取到最小值。

3、均值不等式法求解最值问题

均值不等式在不等式理论中占有重要的作用，在日常生产和生活中也普遍被运用，所以我们要掌握均值不等式的方法来对问题进行求解。当最值问题满足“一正二定三相等”这三个条件时，我们就可以考虑使用均值不等式来求最值问题。其中两个个重要的均值不等式有：

① a2+b2≥2ab ab≤ （a，b R），当且仅当a=b时，“=”成立。

② a+b≥2 ab≤ （a，b R+），当且仅当a=b时，“=”成立。

例2：当0

函数y=a2 = = ，因为 ≤ = ，当且仅当 = ，即a= 时，等号成立。所以函数y=a2 的最大值是 。

4、换元法求解最值问题

换元法就是将代数中的某些项用代数式中没有的变量来代替去解决问题的方法。利用换元法可以将复杂的函数代数式转化为易于分解的代数式，具有有效简单的特点。

例3：求函数y= -x的最值。

设 =t，由函数的定义域可以知道t≥0，带入原函数y= -x=-t2+t-2，配方可以得到y=-（t- ）2- ，当t= 即x= 时，函数y= -x的最大值是 。

例4：求y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5的最值。

由y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5可以得到y=（x2-5x+4）（x2-5x+6）+5，设x2-5x+5=t，那么原函数y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5变为y=（t-1）（t+1）+5=t2+4≥4，所以当t=0即x= 时，y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5有最小值，最小值是4。

5、三角函数法求解最值问题

三角函数法是求最值问题中重要的内容。它的内容的是多种多样的，有时候与其他知识点相结合进行考查，比如曲线、不等式等。所以要熟练掌握三角函数的恒等变形、基本的正弦定理和余弦定理等相关知识点，就可以将最值问题转化为熟悉的问题来解答。

例5：求函数y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

由原函数y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x可以得到y=（1-2sin2x）2+6，由于函数z=（u-1）2+6在[-1，1]中的最大值是10，最小值是6得出，当sin2x=-1时，函数y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最大值是10；当sin2x=1时，函数y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最小值是6。

6、数形结合法求解最值问题

（1）利用数形结合法解关于函数及其图像的最值

例6：求函数y=x2-6x-7在（2，7]上的最值。

我们可以看到所求的函数是二次函数，而且函数不是单调的，所以不能直接将两个定义域的端点带入进行直接求解，这个时候借助图像并且结合函数的定义，我们就可以直观地解答出最值问题。

如图1所示，函数在坐标系上，通过图像可以直观地知道，定义域范围内的函数是图像的部分，我们就可以从对称轴处获得函数的最小值，即x=3时，函数的最小值是-16；当x=7时，函数的最大值是0。

（2）利用数形结合法解二次方程和方程曲线的最值

例7：如果有两个实数x，y，而且有（x-2）2+y2=3，那么 的最大值是多少？

通过分析我们知道这道题是让求数值的比例问题，把（x-2）2+y2=3当成一个圆，如图2所示， = 表示圆上的点（x，y）与坐标中心（0，0）两点连线的斜率值。由图形得出，A在移动的过程中，直线的斜率也在变化着，变化的过程中直线的斜率是先增后减的，连接AM，那么AM OA，OA=OM2-AM2=22- =1，这个时候就可以得到 的最大值就是tan AOM=3。

求函数最值的方法很多，但是当函数具有几何意义时，求解最值问题最好是采用数形结合的方法，这样更直观灵活，也相应地把函数的最值问题转化成为几何中的直线斜率、两点间直线距离等问题。而用数形结合法也有相应的步骤：首先是要把代数式转化为图形；其次是观察转化后的图形，分析图形，用几何问题来进行解答；最后是再次回到代数问题，寻找出正确答案。

三、实际生活中的最值问题

最值问题在日常生活中的应用也是较广泛的，比如贷款买房买车问题、出去旅行什么样的出行方式才最划算等。由此可以看出，最值问题也是具有现实意义的。

四、總结

数学是一门生活性的学科，它来源于生活又服务于生活。我们在学习或者是生活中碰到的一些难题都可以与数学中的知识相结合来进行解答。其中，最值问题是与我们紧密联系也是最常见的一类问题。它贯穿了我们学习数学知识的始终，所以掌握最值问题中的解题方法，才能真正帮助我们解答难题，让所学的知识服务于我们的生活。

参考文献

[1] 丁伙健，关于最值问题[J]，数学大世界：高中2011 （7） ：10-12

[2] 陈 跃，浅谈换元法在求最值问题中的应用[J]，数学学习与研究2015 （19） ：119-119

[3] 苏永华，关于解析几何中的最值问题分析[J]，课程教育研究：学法教法研究2017 （29） ：55-55