向量在解题中的应用

程钰茜

摘 要：向量是近代数学中最基本，也是最重要的数学概念之一，是连接代数、几何和三角等其他数学内容的纽带，在实际解题中有着广泛的应用。本文在概述了向量涵义和运算的基础上，通过实例主要分析了向量在代数和三角函数中的应用，说明了向量在解题中的重要性。

关键词：向量；解题；应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-053-02

一、向量

（1）向量的涵义

向量，又称为矢量，指的是既有大小又有方向的量。它可以用带箭头的线段来表示，箭头所指的方向代表的是向量的方向，线段的长度指的是向量的大小。所以，向量也可以说是在空间或者是平面的有向线段。

（2）向量的常用运算

1.向量的加法

求两个已知向量 、 和的运算叫做向量的加法， + 是向量 和 的和向量。向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。向量加法的三角形法则是将向量平移让它们首尾相连，但要保证第一个向量的首指向第二个向量的尾。向量加法的平行四边形法则是将它们平移到同一个起点，以它们作邻边平行四边形的共起点的对角线。另外，向量的加法也满足交换律和结合律。交换律即 + = + ，结合律即（ + ）+ = +（ + ）。

2.向量的减法

求两个已知向量 、 差的运算叫做向量的减法，记作 = - 。向量的减法满足三角形法则，是将第二个向量的终点指向第一个向量的终点。

3.数乘

实数 与向量 的乘积是一个向量，记作 ，而且l l=l ll l。当 >0时， 的方向和 的方向相同；当 <0时， 的方向和 的方向相反；当 =0时， =0，方向任意；当 =0时，对于任意实数 都有 =0。

4.数量积

已知两个向量 、 和它们夹角的余弦的乘积叫做向量的数量积，记作 或者 · ，即 · =l ll lcos （ ， ）。

5.向量积

已知两个向量 、 的向量积是一个向量，记作 × ，记作 × =l ll lsin （ ， ）。

二、向量在解题中的应用

（1）向量在代数中的应用

向量与许多代数内容都有着紧密的联系，利用向量知识解决代数问题，可以将复杂的问题简单化。

1.函数的最值问题

利用向量求函数的最值问题主要是利用向量模的不等式|l l-l l|≤l + l≤l l+l l等进行求解。

例1：设x R，求函数f（x）= + 的最值。

由已知条件 = ， = ，我们可以设向量 =（x-1，1），向量 =（5-x，3），那么 + =（4，4），所以l + l=4 ，又因为 + =l l+l l≥l + l=4 ，

也就是f（x）= + ≥4 。当且仅当 = ，即x=2时，等号成立。所以当x=2时，函数f（x）= + 有最小值，最小值是4 。

2.条件等式和不等式的證明

条件等式和不等式的证明过程中，往往需要一些变形的技巧，证明难度加大。但利用向量就可以使证明转化成向量的运算，更容易让人求解。

例2：设（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2，其中cd≠0，求证 = 。

通过观察给出等式的结构特征，我们可以想到向量的模和向量的数量积，设 =（a，b）， =（c，d），两个向量的夹角为 ，根据向量的夹角公式cos2 = = = 。由已知条件cos2 =1，可以解出cos = 1，所以 =0或者是π，因此 // ，所以 = 。

3.解方程问题

对方程进行求解有很多方法，但有时候利用常规的方法很难达到结果，而利用向量进行求解，就可以将过程简化。

例3：解方程x· + x· =1

根据题设条件，设 =（x， ）， =（ ， x），所以l l=1，l l=1，l ll l=1， · =x· + x· =1，因此， · =l ll l=1，那么 // 而且方向相同，所以，x· x= · ，且x>0，求得x= 。

4.参变数的范围问题

参变数的范围问题是代数考察中的难点，经常需要分情况进行具体的讨论，但掌握了向量的用法，就可以根据一个结果求出相关的问题。

例4：已知a、b、c、d R，而且a+b+c+d=m（m>0），a2+b2+c2+d2= ，讨论a、b、c的范围。由已知条件a2+b2+c2+d2我们可以想到向量的模，设 =（a，b，c）， =（1，1，1），那么 · =a·1+b·1+c·1=m-d，l l= ，l l= ，由 · ≤l ll l得到m-d≤ · = ，求出0≤d≤ ，再由a、b、c的对称性就可以求出a、b、c的范围。

（2）向量在三角函数中的应用

通过向量数量积的定义，我们就可以知道向量与三角函数之间有着紧密的联系。向量的模与三角函数的关系，为利用向量解决三角函数问题提供了直接的思路。

1.求值

例5：已知cos +cos -cos（ + ）= ，求锐角 和 的值。

由已知条件cos +cos -cos（ + ）= 得到（1-cos ）cos +sin sin = -cos ，此时设向量 =（1-cos ，sin ）， =（cos ，sin ）。由于 · =（1-cos ）cos +sin sin = -cos ，l l·l l= · = ，又（ · ）2≤l l2·l l2，所以（ -cos ）2≤2-2cos ，也就是（cos - ）2≤0，得出cos = ， = ，将 = 代入cos +cos -cos（ + ）= 并整理得到sin（ + ）=1， = ，即 = = 。

2.证明恒等式

例6：求证cos（ - ）=cos cos +sin sin 。

由cos cos +sin sin 想到向量的数量积，设 =（cos ，sin ）， =（cos ，sin ），那么l l=1，l l=1，通过作图，我们可以知道 与 的夹角是 - ，那么 · =l ll lcos（ - ）=cos（ - ），又因为 · =cos cos +sin sin =cos（ - ），所以cos（ - ）=cos cos +sin sin 。

三、总结

向量是数学中的一个有效工具，在很多数学问题，如代数、三角函数等中有着很广泛的应用。灵活运用向量知识，利用向量去分析问题，不仅可以帮助我们快速解答问题，而且可以培养和拓宽解决数学问题的思维。因此，向量在解题中是有着重要的意义与价值的。

参考文献

[1] 翁龙宇，向量在三角函数中的应用[J]，中学数学研究：江西师大2004（9） ：37-39

[2] 杨 亮，高中数学解题中向量方法的应用研究[J]，高中数理化2015（18） ：10endprint