基于压缩传感的稀疏信号检测与信道估计研究

贾艳云

（第七一五研究所，杭州，310023)

压缩传感技术作为近年来在信号处理领域新的处理方法，充分利用信号在变换域的稀疏结构实现对信号的采样与重构，比传统的香浓理论更节省硬件资源，降低了对硬件要求。香浓采样定理假定信号带限连续且采样率大于等于信号的两倍最高信号频率，就可以无失真地从采样值中恢复原信号，否则会出现混叠现象。香浓采样定理假定有限带宽。除带宽可以作为先验信息外，实际应用中的大多数信号具有一定的结构性（如稀疏特性）。利用信号在某个变换域稀疏（相对于信号长度，只有极少数的几个系数非零，其余系数均为零）的知识进行采样与重构，即压缩传感[1～7]。本文在利用信号和信道稀疏结构特性的基础上，结合信号检测似然比理论，推导信号检测的稀疏LRT结构和稀疏信道估计方法。

1 压缩传感基本理论

压缩传感的线性测量过程如图1所示。从图1中可以看出，压缩传感理论有三个主要内容：（1）信号稀疏表示问题，即稀疏变换：对于信号s∈RN，如何找到某个正交基Ψ，使其在Ψ上的表示是稀疏的；（2）信号低速采样问题，如何设计一个平稳的、与Ψ不相关的M×N（M＜N）维的观测矩阵Φ，保证稀疏向量θ从N维降到M维时重要信息不遭破坏；（3）信号重构问题，如何设计快速重构算法从线性观测y=ΦΨθ=Θθ中恢复信号。

纯信号情况下重构信号s的一个直接的方法是最小l0范数法，近年来 Donoho D等人[8]证明了l1最小范数在一定条件下和l0最小范数等价，则重构信号变为最小l1范数法。

当信号s混杂在均值为零方差为2σ的高斯白噪声w中时，重构公式为：

式中，β是一个自由因子[9]。

图1 压缩传感的线性测量过程

压缩传感充分利用了信号的稀疏结构特性，在保留信号结构的基础上，以非自适应线性映射的采样方法重构信号。它突破了香浓采样定理的极限，跳过了传统采样过程中获得大批冗余数据，然后再舍去绝大部分不重要数据的中间过程，为处理、传输和存储节约了大量的成本。以随机采样的方式，用更少的数据采样点恢复原始信号，是对传统理论的颠覆。

2 稀疏信号检测与信道估计原理

2.1 稀疏信号检测

多数情况下，声呐检测并不要求信号重构，只需检测信号的有无或信号存在时对其位置的估计[10-13]。这要求声呐工作者在稀疏性表征、稳定的测量矩阵构建和重构算法选取的基础上，研究信号检测的稀疏 LRT结构-CS LRT/CS GLRT理论。

检测问题可以描述为（假定为二元简单假设检验：H0假设，无信号；H1假设，有信号）：

其中，s表示信号，且已知；w表示高斯白噪声，服从为噪声方差；y为测量数据；Φ为已知的测量矩阵。通过经典的检测理论，计算似然比：

η为似然比门限，上式即为CS LRT。

计算对数似然比，将常数纳入到门限的计算中，则有检验统计量

这是一个匹配滤波结构，它是稀疏检测和估计的核心。可以看到，压缩传感是在简单（复合）假设检验中寻求一个最大不变变换来重构目标的稀疏场景。若（4）式中存在未知的讨厌参量，可以用该未知参量的最大似然估计替代，从而形成CS GLRT。

令虚警率PFA=α，若测量矩阵Φ行正交，则检测概率

其上下限[3]为

SNR表示信噪比，ε表示一个很小的正数。式（7）说明了在完成检测任务时，通过利用一个随机投影损失了多少信息（相对于利用信号自身的采样值）。当ε→0时，检测概率

2.2 稀疏信道估计

2.2.1 信道稀疏脉冲响应估计

假定信源为一个点源，当信源发射E0的能量归一化波形f(t)时，接收数据信号分量y(t)为发射波形f(t)与信道时变脉冲响应h(t,τ)的卷积，即

进行离散化

式中，tn=nΔt，Δt为时间采样间隔。

将连续M个时域采样排成一个列向量，则

M是一个平滑窗长，对于一个稀疏信道，令P表示中占优势的构成数，其余Q−P个构成等于零或近似为零。式（11）的基本假定是

上式成立依赖于平滑窗长M和信道的起伏率。

2.2.2 信道稀疏散射函数估计

式（9）的信号源信道扩展函数可表示为

决定了发射波形通过海洋这个双扩展信道时的时延和多普勒扩展量，v表示窄带多普勒频移或散射过程中时间变化引起的扩展频率。窄带接收信号可建模为

离散化上式，并将连续的M个时域采样排成一个列向量，则

对于一个稀疏信道，令P表示G中占优势的构成数，其余KQ−P个构成等于零或近似为零。式（14）成立的条件是信道扩展函数在这M个时域采样上保持常数，即要求采样间隔尽可能小。这个条件是否成立取决于平滑窗长M和信道时延-多普勒组成的起伏率。

一般来讲，M的选择要考虑以下四方面的内容：保证（14）式中G变化不大；应与占优势的时延—多普勒构成数P成比例；大M有助于抑制噪声干扰和增强的列正交性。

散射函数为

P的选择应该最小化信号预测误差[14]。信号预测误差为是可以直接测量的，并可以用来评估各种信道估计算法。

3 仿真实验分析

3.1 信号检测仿真

图 2（a）是在信噪比SNR=20 dB的情况下，同一信号不同的测量值对检测概率的影响。从图中可以看出，对于M=0.05N，检测概率相对较小；当M=0.1N时，检测性能有了很大的改善；在M=0.2N时，压缩传感检测器的性能基本接近于经典的检测器性能。因而，压缩传感理论可以用于目标检测。

图2（b）是在虚警率α=0.1的情况下，不同信噪比和测量数M对检测概率PD的影响。可以看出，在信噪比较高的情况下，检测性能程指数收敛到 1，即高信噪比时，只需很少的测量数就可以完成检测任务。

图2(a) 测量值M对检测概率PD的影响

图2(b) 信噪比对检测概率PD的影响

图 3 是在信噪比SNR=20 dB，测量数M=0.05N时用不同的方法产生的测量矩阵Φ的平均ROC曲线。可以看出，所有的测量矩阵的检测性能与期望的检测性能一致。

图3 不同方法产生的测量矩阵的平均ROC曲线

图4是信噪比SNR=20 dB，信号长度N=104，测量数M=0.05N的ROC曲线的期望检测性能及其上下界。

图4 ROC曲线的期望检测性能及其上下界

3.2 信道估计仿真

假定信道是时延扩展和多普勒扩展分别为 7 ms、50 Hz的慢时变信道，采用10 kHz采样频率、中心频率300 Hz、带宽10 Hz、长度10 s、背景噪声为高斯白噪声的LFM-PCW组合随机加权信号进行仿真实验和分析，仿真结果如图 5、图 6所示。图5（a）为真实的信道稀疏散射函数，图5（b）、图 5（c）、图 5（d）分别为−10 dB、0 dB、30 dB的测量数为1 200、信道占优势构成数为20的信道估计稀疏散射函数。可以看出，随着信噪比的提高，估计结果越逼近真实的信道稀疏散射函数，即估计误差随着信噪比的增加而减小。

图5(a) 信道真实稀疏散射函数

图5(b) M=1 200,P=20,SNR=−10 dB信道估计散射函数

图5(c) M=1200,P=20,SNR=0 dB信道估计散射函数

图5(d) M=1 200,P=20,SNR=30 dB信道估计散射函数

图 5（e）为信噪比 30 dB、测量数为 1200、信道占优势构成数为 50的信道估计稀疏散射函数，对比图 5（d）可以看出，此时的估计效果较好，估计误差也相应降低，但这是以增加计算量为代价的；图 5（f）为信噪比 30 dB、测量数为500、信道占优势构成数为 20的信道估计稀疏散射函数，对比图 5（d）可以看出，估计效果明显变差，测量数减少即测量不充分时的列正交性也相对减弱，估计误差偏大。

图5(f) M=500,P=20,SNR=30 dB信道估计散射函数

图 6（a）为信道的另一种真实的稀疏散射函数；图6（b）为信噪比30 dB、测量数为800、信道占优势构成数为 20的信道估计稀疏散射函数。对比图 5（a）和图 5（d）可以看出，本文方法对不同的稀疏信道均可以有效估计。

图6(b) M=800,P=20,SNR=30 dB信道估计散射函数

图 7给出了稀疏信道在相同测量数及相同占优势构成和不同信噪比下的信道散射函数估计误差图。

图7 不同M和P在不同信噪比下的估计误差

从图中可以看出，在信噪比和测量数固定的情况下，对于同一个信噪比，随着信道占优势构成数的增加，估计误差减小；对于相同的测量数和信道占优势构成数，随着信噪比的增加，估计误差也是减小的，尤其是当信噪比增加到10 dB，测量数增加到 1 200，信道占优势构成数为 50时，估计误差降到 0.15；当信噪比增加到 30 dB时，估计误差降到 0.05。虽然测量数比信道占优势构成数大很多，但相对于香浓采样定理规定的Nyquist率，这个测量数却是很小的。如果我们增加测量数，估计误差将会进一步减小。

4 结论

本文将压缩传感理论稀疏信号处理方法应用于仿真稀疏信号检测与稀疏信道散射函数估计研究，通过仿真实验证明该稀疏信号检测结果及稀疏信道估计结果与真实的理论结果具有一致性，充分挖掘和利用信号和信道的稀疏知识能够实现有效的估计信道。本文研究方法针对的是慢时变稀疏信道的估计，对于快时变稀疏信道的估计将是以后研究的重点。

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