类比思想在高中数学中的应用探究

摘要：类比思想在生活中十分常见，人们总会不由自觉地拿两件东西进行对比，并由其中一方的特性类推得到与之相似的另一方的属性。类比思想在高中数学中也有多处应用，包括相似三角形和全等三角形、二次函数和三次函数、二维向量和三维向量等[1]。本文将举例类比思想在高中数学中的应用，分析其优点及不足，并提出相应的建议。

关键词：类比思想 高中数学 应用

类比是一种常见的数学方法，它将新事物与旧事物的某些方面进行类似比较，并把已有的知识、方法、理论应用到新事物中，从而解决问题。类比方法的核心就是由已知事物的某些特性推理出相似事物的对应特性。

一、类比思想在高中数学中应用的优点

类比思想在数学领域中是一种十分重要也是十分普遍的方法，当一个数学问题很难通过常规推理进行解决时，人们就可以考虑使用类比法，先由与之类似的问题进行类比预测结论，然后再反向证明结论的合理性。历史上许多著名的结论都是通过类比法得出的，比如牛顿从地球对物体的引力受到启发，通过类比发现了天体万有引力定律；施旺由植物细胞核类比发现动物细胞核等。在很多情况下，类比法比常规推理简单易懂，特别是对于某一问题可能出现的结果或者结论未知时，使用类比法可以提供大致方向。

在使用类似思想时需要将相似的问题放在一起进行比较，这在很大程度上有利于我们进行系统的归纳学习。通过使用类比法，我们可以清楚地知道哪些问题属于一类问题，它们的共同特性是什么，又有哪些特性是不同的。系统的学习有利于我们对知识的全面掌握和应用。

二、类比思想在高中数学中的应用举例

（一）三维空间与二维空间类比求平面法向量

类比探究是高中数学中的一种重要思维方式，是构建新旧知识网络的常用方法。例如，由平面向量引申到空间向量；面与面的位置关系类比直线之间的位置关系；由三维空间转至二维空间求解等。下文就“求平面法向量”这一问题进行类比探究：

类比思想使复杂的三维问题简单化。

同时由“法向量垂直可知面面垂直”这一思想，通过类比可得到二维垂直线系。求两直线垂直，首先要证l1：Ax+By+C=0与l2：Bx-Ay+λ=0（λ为参数）相垂直，可知l1法向量为n=（A，B），l2：n=（B，-A），根据平面向量垂直计算方法易推出AB+（-AB）=0，即两直线的法向量垂直，可确定两直线垂直，而不必转化为斜截式进行计算。类比思想是高中数学简化计算的重要手段。

（二）椭圆旋转体与球体类比求体积

在几何求积问题中，类比思想也发挥了很大作用。如：利用祖暅原理理解圆的旋转体——球的体积公式，并在此基础上类比探究椭圆的旋转体，可得出橄榄状几何体的体积。

祖暅原理：半球与一个与半球体横切面积和高相同的立体，即圆柱体中间切去一个圆锥体，体积相同。由此进行类比探究，可将椭球体体积转化为圆柱体积与同底的圆锥体积的差。现构造一圆柱，并在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即可由V=2（V圆柱-V圆锥）求解。

类比思想在不等式、解析几何等模块中也有重要体现，许多解题模型的构建都应用了类比思想。这是一种知识的迁移，由一到多，由简到繁，由具体到抽象，由平面到立体，知识类比是其相似性和递变性的体现。类比思想是构建数学学科知识体系的重要一环。

三、类比思想在高中数学中应用的不足

类比思想并不适用于所有的问题，它有很大的局限性。要想使用类比思想解题就必须找到与之相类似的问题，且十分熟悉。换句话说，类比思想是在前人基础上的进一步发展。

另一方面，使用类比思想进行解题很可能会得到错误的答案或者结论。因为两个问题即使再怎么相似，都只是其中的一些属性一致，不可避免会存在许多不同的特性。如果参考的正好是二者的不同特性，那么所得到的结论可能与真实结论大相径庭，影响之后的求解。例如，勒威耶认为天王星实际运行轨道与万有引力定律计算不符是因为海王星的存在，并通过类比得出水星实际运行轨道与实际不符可能是由于另一颗行星的存在，但是事实证明这个结论是错误的，水星运行轨道出现偏差是由于其离太阳太近。

四、类比思想在高中数学解题中应用的建议

在学习高中数学时应学会运用类比法，但是在应用时不可以生搬硬套，盲目使用[2]。笔者对于类比思想在高中数学中的应用主要有以下几点建议。

（一）谨慎挑选类比的对象

在使用类比法时，针对问题所挑选的类比对象十分重要，因为它决定着类比得出的答案或者结论。一旦类比对象出现错误，那么整个结论就都是错误的。比如在使用类比思想求圆锥的体积时，我们通过类比三棱柱可得出圆锥体积，但在只考虑圆锥侧面为曲面时，如果错将类比对象选成球体或者椭圆旋转体，那么其结论与实际必然会相差很多。

（二）驗证类比思想得出的结论

尽管事物类似，但也有一些特性是不同的，如果所研究的正好是事物不同的特性，那么其得出的结论必然是不对的。因此在使用类比思想得出答案或者结论之后一定要进行验证，分析其是否符合题意。

五、结语

类比思想在高中数学中的应用十分广泛，也十分常见。其优点在于简单易操作，便于系统学习、掌握知识，但它也存在一些缺点，比如类比对象要求高，类比结果可能与真实值不符等。因此，在应用类比思想学习高中数学时，需要用严谨的态度选择类比对象以及验证结论，从而确保结果的真实性。

参考文献：

[1]李晋彪.浅谈数学中的类比[J].太原教育学院学报，2006，（S1）：86-88.

[2]陈爱清.种国富.类比法在数学教学中的应用[J].北京工业职业技术学院学报，2004，（04）.

（作者简介：陈懿甜，石家庄第二中学，高中学历，研究方向：数学方向。）