电路分析中网络定理解题应用的探究

孙杨 曹家琪

摘要：在电路分析的解题过程中，对于某些问题如果我们不对它们进行处理而是直接采用基尔霍夫定律进行求解，会十分的烦琐。采用网络定理对电路进行相应简化，就可以减少计算量，避免出错。本文将对网络定理在解题中的应用进行一些探究。

关键词：叠加定理 替代定理 戴维南定理 诺顿定理 最大功率传输定理 特勒根定理 互易定理

中图分类号：TP311      文献标识码：A      文章编号：1009-3044（2018）31-0245-03

1 叠加定理

1.1  叠加定理的内容

当网络中只有单个激励作用时，相应与激励成正比，符合齐次性。当网络中有多个激励同时作用时，总响应等于每个激励单独作用时产生的响应分量的代数和，符合可加性。

1.2  叠加定理应用注意点

运用叠加定理的网络应是线性网络，非线性网络可以用叠加定理;

叠加定理不能用来计算功率和能量，因为它们不是线性的;

应用叠加定理的易漏点是将独立源置零，这个不能忘记;

受控源不同于独立源，应该保留下来;

叠加计算响应的时候应该注意每个响应的方向。

1.3  叠加定理的具体应用

在普通的线性网络中，叠加定理的应用十分的常见。我们将电路中的其他独立源置零，然后分别计算，最后叠加。

在正弦稳态电路中也是如此。我们将那些频率不同的正弦量分开处理。分别求出它们独立作用时的响应，最后化为相量形式进行叠加。

2 替代定理

2.1 替代定理的内容

在具有任意唯一解的集总参数网络中，设已知某条支路k的支路电压uk（或支路电流ik），且该支路k与网络中的其他支路无耦合，如果该支路用一个电压为uk的独立电压源（或电流为ik的独立电流源）替代后所得的电路仍具有唯一解，则替代前后电路中支路电压和电流保持不变。

替代定理的本质直观地理解，就是用电路中一个端口所具有的电量大小的元件或元件组合替代该端口连接的部分，替代后不改变端口的拓扑结构，因而也就不改变KCL和KVL方程。这就相当于对于给定的一组线性或者非线性的解。而我们的替代只是相当于用一个我们求出的解去替代方程中的那个未知数。替代后并不会改变原方程的结构。

2.2 替代定理应用的注意点

替代定理的应用范围十分的广泛，适用于任意集总参数网络，无论是线性的还是非线性的，时变的还是非时变的。

要注意区分的是，“替代”与“等效替换”是两个不同的概念。我们平常所说的“替代”是用独立电压源或电流源将已知电压或电流的支路替换掉 ，替代前后替代支路的拓扑结构和元件参数是不可以改变的。因为一旦改变，替代支路的电压和电流也将随之发生变化;而等效变换是两个具有相同端口伏安特性的电路间的相互转换，与变换以外电路的拓扑结构和元件参数无关，因此我们也常说等效变换对外等效对内不等效。

电压源或者电流源不仅可以替代已知电压或电流的支路 ，而且可以替代已知端口电压或端口电流的二端网络，这一点就更加拓宽了替代定理的应用范围。

2.3 替代定理的解题应用

例1：线性时不变的电阻网络如上图所示。已知US=5cosωt V， RL=10Ω时，UL=2+2cosωt V， US=2 V， RL=5Ω时，UL=2V，则US=5 V， RL=20Ω时，负载电压UL是多少？

根据例2电路和已知条件，直接运用电路知识难以求解.不妨将电阻RL用电流大小为iL=UL/RL的电流源替代，如图6（b）.根据叠加原理，可以将RL上的电压UL用电压源US、网络N和电流源iL三者单独作用再叠加来表示。于是我们可以设UL=AUS+BUN+CiL。因为网络N未知，但它实际上已经包含如我们的方程中了， 所以可以把它看作一个参数。不妨设UL=1，则我们可以得到下面这个方程组：

在我们求解含有动态元件的电路的时候。求出了动态元件的在0时刻的响应，我们也是用一个独立电压源或电流源替代这个动态元件，进而求下面的响应。

3 戴维南定理

3.1 戴维南定理的内容

当我们求出一个有源线性二段网络的开路电压和等效电阻后，我们就可以用一个与之相等的电压源和电阻替换掉这个二端网络。

在上一小节也提到过，戴维南定理是采用了等效的方法，与替代定理并不相同，要注意区分。

3.2 戴维南定理的应用

例2：如下图所示的电路。若负载RL可以任意改变，问负载为何值时，功率最大？最大功率是多少？

在这道题目中，不含受控源。如果含有受控源，我们可以采取加压求流法或者开路短路法求得等效电阻。

当我们求得了开路电压和等效电阻之后，根据最大功率传输定理，我们可以知道在外电阻的阻值等于等效电阻的时候，功率可以取得最大值。

由于诺顿定理和戴维南定理十分类似，且在目前的解题过程中应用不如戴维南定理广泛，于是我们就略过不讲。

4 特勒根定理與互易定理

4.1 特勒根定理的内容

特勒根定理具有两种形式：功率守恒与似功率守恒。

4.1.1 功率守恒

对于任一集总参数电路，所有支路在任一瞬间吸收功率的代数和为0。

前提条件：支路电压 vk 满足由该电路的拓扑结构所决定的KV L约束 ，支路电流 ik满足由该电路的拓扑结构所决定的 KCL约束，同时，支路电压与支路电流还要满足该支路 k的支路方程。

4.1.2 似功率守恒

对于两个具有相同拓扑结构的网络。该所有支路电压乘以对应支路的电流的代数和为0。

在这个形式中，电压乘以电流不再具有功率的物理意義。但却具有功率的物理量纲。于是我们把这个形式成为似功率守恒。

其实特勒根定理本身在解决题目上的应用不是特别的广泛。因为涉及的变量很多，比较繁琐。但是，由特勒根定理的第二形式（似功率守恒）我们可以推导出是个使用起来十分方便的定理，即互易定理。

4.2 互易定理

这张图是两个具有相同拓扑结构的网络。由特勒根定理的似功率守恒，我们可以得到：

下面我们就用特勒根定理和互易定理来解几道题目。

例3：

如上图所示线性无源网络N，当输入端口是一个5A的电流源，输入端口的电压是10V时，另一端的响应是1A的短路电流。当输入端口接一个5V的电压源，输出端口是一个阻值为4Ω的电阻时，求电阻上的电压是多少？当图b中输入端的电压源变为15V时，电阻上的电压又是多少？

首先我们观察这个电路，发现并不符合使用互易定理的三种形式，但是这两个网络又具有相同的拓扑结构，于是我们决定采用特勒根定理。

题目条件如图中所示，根据图a中的条件，求出图b中的I_ab。

首先我们来分析这道题目。我们需要求得图b中含有两个独立源，但是互易定理只适用于含有一个独立源的电路中，所以我们采用叠加定理即可。于是 ，我们就将图b分解为了图c和图d。

以上的两道题目是用特勒根定理和互易定理来解决含有两个网络的题目。对于部分含有一个网络的题目，我们也可以通过互易定理，交换独立源和响应的位置，改变电路的结构，将电路化解为可以应用特殊规律的形式，比如可以利用电桥平衡或者星形电路转化为三角电路等，达到简化计算的目的。

参考文献：

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[2] 魏英，李春云.叠加定理在电路分析中的应用[J].科学创新导报，2009（6）.

[3] 代广珍，王冠凌.替代定理的研究与应用[J].韶关学院学报，2017（4）.

[4] 张巨芳.戴维南定理及其应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2009（3）.

[5] 李妍，熊信银，吴耀武.浅谈特勒根定理[J].电气电子教学学报，2002（9）.