有图有“真相”

唐蒋林

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，不仅能用数轴上的点表示所学的有理数，而且实数和数轴上的点也是一一对应的.相反数、绝对值等基本概念借助数轴来理解，能更加形象.数的大小比较，有理数的加减法的法则探究等都离不开数轴.同时，不等式（组）的解集，利用数轴能直观地表示出来，并加以确定.数轴的学习，是后面学习平面直角坐标系的基礎.因此，数轴是一种重要的数学工具.在初中阶段，利用这一基本图形来帮我们解决相关问题，既简单又直观，是数形结合思想的基本体现.

例1 在数轴上有A、B、C三点，它们分别表示-4、1、-1，怎样移动A、B两点，使这三点重合？

点拨：这个问题如果单纯地用代数方法来求解，就要看-4和1分别加上（或减去）怎样的一个数能得到-1，从而判断其移动的方向和距离.这种方法对基础较弱的学生而言，是比较难理解的.仔细审题，会发现这是一个点的运动型问题.倘若画出数轴，让点在数轴上动起来，那么问题就变得非常简单.画出数轴，把A、B、C三点分别表示在数轴上.若移动A、B至C处，则这三点可重合，即都表示-1.如何移动，通过图形，一目了然.

解：如图1，在数轴上分别表示出A、B、C三点.将点A向右移动3个单位长度，点B向左移动2个单位长度，能使这三点重合.

变式：上述A、B、C三点表示的数不变.若任意移动其中两点，使这三点重合，那么如何移动，有哪几种方法？

例2 如图2，B是数轴上一个表示整数的点，另一点A到原点的距离等于点B到原点的距离.若C与A相距2个单位长度，写出C点表示的数.

点拨：A与B到原点的距离相等，所以点A、点B表示的数互为相反数，即可找到A点位置；A、C两点相距2个单位长度，利用图形可以看出，此处需分两种情况讨论，即点C在A的左侧或者右侧，在数轴上标出点C的位置，就能得到它所对应的数.

解：如图3，在数轴上标出点A的位置，点A表示-3；满足条件的点C有两个，分别表示-5或者-1. 利用数轴确定点A的位置是解题的关键，而通过观察发现距离A点2个单位长度的点有两个，分别分布在A点的左右两侧，需要分情况讨论.

变式：已知数轴上的A、B两点分别表示2、-3，数轴上有另外两点C、D， 且C到A的距离为3个单位，D到B的距离为1个单位，求线段CD的长.

例3 小芳家、学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小芳家在学校东500m处，书店在学校西150m处.小芳从学校向东走了250m后又向西走了400m，你能说出小芳现在的位置吗？

点拨：画示意图（或线段图），是分析和求解行程类问题的关键所在.此题虽不是一道典型的行程类问题，但是通过数轴准确地画出示意图，不仅能清楚地理解小芳的行走路线，而且能直接得出答案.这种利用数轴分析行程问题的方法在后面学习方程（组）后，对解答问题有较大的帮助，尤其是关于点的运动问题，将会取得不错的效果.题中涉及三个地点，如果将它们的位置分别表示在数轴上，我们只要在数轴上画出小芳的运动轨迹，那么问题就变得简单、直观.

解：如图4，以学校为原点，正东方向为正方向画数轴，则小芳家在500m处，书店在 -150m处，则小芳现在在书店位置.

变式：数轴上有一点A，若将点A左移4个单位长度，再右移动2个单位长度，此时点A所表示的数是原来点A所表示的数的相反数，原来点A所表示的数是多少？

总之，利用数轴直接求解数学问题的例子还有很多，类型也比较丰富.虽然数形结合思想的运用在数轴上也仅仅只是初步体现，但是这种分析问题和解决问题的方法值得学习和研究，对学生进一步理解和运用数形结合思想解决相关问题起到了一定的引导作用.因此，教师要引导学生学好数轴、用好数轴，让数学问题的真相现于“形”上.endprint