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数学之美

2018-01-19郭向丽

中学生数理化·教与学 2018年1期

郭向丽

摘要:数学的世界,是一个充满美的世界,如数的美、式的美、形的美等.在那里,我们可以感受到和谐、比例、整体和对称,也可以感受到布局的合理,结构的严谨、关系的和谐以及形式的简洁.哪里有数,哪里就有美.

关键词:简洁美 和谐美 对称美 创新美 统一美

数学是各类学科的工具,是数和空间的结合,是科学和艺术的结合,是思维和想象的杰作.几何线条的任意驰骋,代数数字的千变万化,无不彰显着数学的魅力.高度严密的逻辑性,让人充分领略数学之美.

一、数学之简洁美

爱因斯坦说:“美,本质上终究是简单性.”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则.他的这种美学理论,在数学界,也被多数人所认同.朴素,简单,是其外在形式.只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美.

欧拉给出的公式:V-E+F=2,堪称“简单美”的典范.世间的多面体有多少?没有人能说清楚,但是它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式.一个如此简单的公式,包含了几乎所有多面体的共同特性,怎能不令人惊叹!这个公式成为近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式.由这个公式可以得到许多深刻的结论,对拓扑学与图论的发展具有重要作用.

二、数学之和谐美

数论大师赛尔伯格认为,他喜欢数学的一个动机是如下公式:π4=1-13+15…,这个公式实在美极了,奇数1、3、5……这样的组合,可以给出π.对于一个数学家来说,此公式犹如一幅美丽风景画.

欧拉公式:eiπ=-1,曾获得“最美的数学定理”称号.欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系,包容得如此协调、有序.与欧拉公式有关的棣美弗-欧拉公式是cosθ+isinθ=eiθ(1).这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数——三角函数与指数函数紧密地结合起来了.对它们的结合,人们始则惊诧,继而赞叹,确是“天作之合”.

三、数学之对称美

在古代“对称”一词的含义是“和谐”“美观”.事实上,译自希腊语的这个词,原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”.毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形中,最美的是球形;一切平面圖形中,最美的是圆形.圆是中心对称圆形——圆心是它的对称中心;圆也是轴对称图形——任何一条直径都是它的对称轴.梯形的面积公式:S=(a+b)h2,其中a是上底边长,b是下底边长;等差数列的前n项和公式:Sn=(a1+an)n2,其中a1是首项,an是第n项.这两个等式中,a与a1是对称的,b与an是对称的,h与n是对称的.对称不仅美,而且有用.

四、数学之创新美

欧几里得几何曾经是完美的经典几何学,其中的公理5“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”似乎是天经地义的绝对真理.但是罗马切夫斯基采用了不同公理5的结论“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”.在这种几何里,“三角形内角和小于二直角”,从而创造了罗氏几何.黎曼几何学没有平行线.这些与传统观念相违背的理论,并不是虚无飘渺的.当我们进行遥远的天文测量时,用罗氏几何学是很方便的,原子物理、狭义相对论中也有应用;而爱因斯坦建立的广义相对论中,较多地利用了黎曼几何这个工具,才克服了所遇到的数学计算上的困难.每一个理论都在不断创新,每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地.在不断创新的过程中,数学得到发展.

五、数学之统一美

数的概念从自然数、分数、负数、无理数,扩大到复数,经历了无数次坎坷,范围不断扩大,在数学及其他学科的作用也不断增大.那么,人们自然想到能否再把复数的概念继续推广.英国数学家哈密顿苦苦思索了15年,没能获得成功.后来,他“被迫做出妥协”,牺牲了复数集中的一条性质,终于发现了四元数,即形为a1+a2i+a3j+a4k(a1 ,a2i,a3j,a4k为实数)的数,其中i、j、k如同复数中的虚数单位.若a3=a4=0,则四元数a1+a2i+a3j+a4k是一般的复数.四元数的研究,推动了线性代数的研究,并在此基础上形成了线性结合代数理论.

总之,数学之美,还可以从更多的角度去审视,每一侧面的美都不是孤立的,而是相辅相成、密不可分的,需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘,体会它的美学价值和它丰富、深隧的内涵和思想,及其对人类思维的深刻影响.在学习过程中,让我们与数学家一起探索、发现,从中获得成功的喜悦和美的享受.endprint